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Theorem cvxcl 20206
Description: Closure of a 0-1 linear combination in a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxcl.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
cvxcl.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  D )
Assertion
Ref Expression
cvxcl  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
Distinct variable groups:    x, y, D    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    T( x, y)

Proof of Theorem cvxcl
StepHypRef Expression
1 cvxcl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  D  C_  RR )
3 simpr1 966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  D )
42, 3sseldd 3123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  RR )
5 simpr2 967 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  D )
62, 5sseldd 3123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  RR )
74, 6lttri4d 8893 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X ) )
8 cvxcl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  D )
98ralrimivva 2606 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y
)  C_  D )
109ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D
)
11 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x [,] y )  =  ( X [,] y ) )
1211sseq1d 3147 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x [,] y
)  C_  D  <->  ( X [,] y )  C_  D
) )
13 oveq2 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X [,] y )  =  ( X [,] Y
) )
1413sseq1d 3147 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X [,] y
)  C_  D  <->  ( X [,] Y )  C_  D
) )
1512, 14rcla42v 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( X [,] Y
)  C_  D )
)
163, 5, 15syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( X [,] Y
)  C_  D )
)
1716adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y
)  C_  D  ->  ( X [,] Y ) 
C_  D ) )
1810, 17mpd 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  ( X [,] Y )  C_  D )
19 ax-1cn 8728 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
20 0re 8771 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
21 1re 8770 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
22 iccssre 10662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
2320, 21, 22mp2an 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
24 simpr3 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2523, 24sseldi 3120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  RR )
2625recnd 8794 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  CC )
27 nncan 9009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
2819, 26, 27sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
2928oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  =  ( T  x.  X ) )
3029oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
3130adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
324adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  X  e.  RR )
336adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  Y  e.  RR )
34 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  X  <  Y )
35 simplr3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
36 iirev 18354 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
1  -  T )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
38 lincmb01cmp 10708 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <  Y )  /\  ( 1  -  T
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) )  e.  ( X [,] Y ) )
3932, 33, 34, 37, 38syl31anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  ( X [,] Y ) )
4031, 39eqeltrrd 2331 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  ( X [,] Y ) )
4118, 40sseldd 3123 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  < 
Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  D )
42 oveq2 5765 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( T  x.  X )  =  ( T  x.  Y ) )
4342oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( X  =  Y  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
44 pncan3 8992 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
4526, 19, 44sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
4645oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( 1  x.  Y ) )
47 resubcl 9044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
4821, 25, 47sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  RR )
4948recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  CC )
506recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  CC )
5126, 49, 50adddird 8793 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
5250mulid2d 8786 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  Y
)  =  Y )
5346, 51, 523eqtr3d 2296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  Y )
5443, 53sylan9eqr 2310 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  =  Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  Y )
555adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  =  Y )  ->  Y  e.  D )
5654, 55eqeltrd 2330 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  X  =  Y )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  D )
579ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D
)
58 oveq1 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
x [,] y )  =  ( Y [,] y ) )
5958sseq1d 3147 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x [,] y
)  C_  D  <->  ( Y [,] y )  C_  D
) )
60 oveq2 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( Y [,] y )  =  ( Y [,] X
) )
6160sseq1d 3147 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( Y [,] y
)  C_  D  <->  ( Y [,] X )  C_  D
) )
6259, 61rcla42v 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  D  /\  X  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( Y [,] X
)  C_  D )
)
635, 3, 62syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y )  C_  D  ->  ( Y [,] X
)  C_  D )
)
6463adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  ( A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x [,] y
)  C_  D  ->  ( Y [,] X ) 
C_  D ) )
6557, 64mpd 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  ( Y [,] X )  C_  D )
664recnd 8794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  CC )
6726, 66mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  X
)  e.  CC )
6849, 50mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  e.  CC )
6967, 68addcomd 8947 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  Y )  +  ( T  x.  X ) ) )
7069adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( T  x.  X
) ) )
716adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  Y  e.  RR )
724adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  X  e.  RR )
73 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  Y  <  X )
74 simplr3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
75 lincmb01cmp 10708 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  Y  <  X )  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( T  x.  X
) )  e.  ( Y [,] X ) )
7671, 72, 73, 74, 75syl31anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( T  x.  X ) )  e.  ( Y [,] X ) )
7770, 76eqeltrd 2330 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  ( Y [,] X ) )
7865, 77sseldd 3123 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  Y  < 
X )  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  e.  D )
7941, 56, 783jaodan 1253 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
807, 79mpdan 652 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    \/ w3o 938    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3094   class class class wbr 3963  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    < clt 8800    - cmin 8970   [,]cicc 10590
This theorem is referenced by:  scvxcvx  20207  jensenlem2  20209  amgmlem  20211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-rp 10287  df-icc 10594
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