MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Unicode version

Theorem cxp2lim 20271
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10739 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR )
5 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9296 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  n )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 8976 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  n )
124, 11elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR+ )
1312ssriv 3184 . . . 4  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
14 resmpt 5000 . . . 4  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
165a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1713a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
18 rpre 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1918adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
20 rpge0 10366 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2120adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
22 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
235a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
258a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
26 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2723, 24, 22, 25, 26lttrd 8977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2822, 27elrpd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2928, 19rpcxpcld 20077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
30 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
31 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3230, 1, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
331a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
348a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
35 max1 10514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
361, 30, 35sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3716, 33, 32, 34, 36ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3832, 37elrpd 10388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3938rprecred 10401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4129, 40rpcxpcld 20077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4232recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4419, 21, 41, 43divcxpd 20069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4538adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4645rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4743, 46recid2d 9532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 ) )
4929, 40, 43cxpmuld 20081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
5029rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  CC )
5150cxp1d 20053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 )  =  ( B  ^ c  n ) )
5248, 49, 513eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^ c  n ) )
5352oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
5444, 53eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
5554mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
56 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5756a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5819recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5939recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6059adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6158, 60mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6261oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6328, 19, 60cxpmuld 20081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6428, 40, 58cxpmuld 20081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6562, 63, 643eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6665oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )
6766mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) ) )
68 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
69 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
7016, 33, 68, 34, 69lttrd 8977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7168, 70elrpd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7271, 39rpcxpcld 20077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7372rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
74591cxpd 20054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
75 0le1 9297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7675a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7771rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7838rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7933, 76, 68, 77, 78cxplt2d 20073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
8069, 79mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8174, 80eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
82 cxp2limlem 20270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8373, 81, 82syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8467, 83eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8557, 84, 38rlimcxp 20268 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8655, 85eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8717, 86rlimres2 12035 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
88 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8932adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
9088, 89rpcxpcld 20077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9190, 29rpdivcld 10407 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9291rpred 10390 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9312, 92sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
94 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9588, 94rpcxpcld 20077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
9695, 29rpdivcld 10407 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9712, 96sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9897rpred 10390 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9912, 95sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
10099rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR )
10112, 90sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
102101rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
10312, 29sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
1044adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
10510adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
106 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10732adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
108 max2 10516 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1091, 106, 108sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
110104, 105, 106, 107, 109cxplead 20068 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  <_  (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
111100, 102, 103, 110lediv1dd 10444 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_  ( (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
112111adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_ 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
11397rpge0d 10394 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
0  <_  ( (
n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
114113adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  (
( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
11516, 16, 87, 93, 98, 112, 114rlimsqz2 12124 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11615, 115syl5eqbr 4056 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 )
11796rpcnd 10392 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  CC )
118 eqid 2283 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
119117, 118fmptd 5684 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
120 rpssre 10364 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
121120a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
122119, 121, 33rlimresb 12039 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 ) )
123116, 122mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   RR+crp 10354   [,)cico 10658    ~~> r crli 11959    ^ c ccxp 19913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator