MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Unicode version

Theorem cxp2lim 20683
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 9024 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10933 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR )
5 0re 9025 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9483 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  n )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 9163 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  n )
124, 11elrpd 10579 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR+ )
1312ssriv 3296 . . . 4  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
14 resmpt 5132 . . . 4  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
165a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1713a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
18 rpre 10551 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1918adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
20 rpge0 10557 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2120adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
22 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
258a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
26 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2723, 24, 22, 25, 26lttrd 9164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2822, 27elrpd 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2928, 19rpcxpcld 20489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
30 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
31 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3230, 1, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
35 max1 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
361, 30, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3716, 33, 32, 34, 36ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3832, 37elrpd 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3938rprecred 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4129, 40rpcxpcld 20489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4232recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4419, 21, 41, 43divcxpd 20481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4538adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4645rpne0d 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4743, 46recid2d 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4847oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 ) )
4929, 40, 43cxpmuld 20493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
5029rpcnd 10583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  CC )
5150cxp1d 20465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 )  =  ( B  ^ c  n ) )
5248, 49, 513eqtr3d 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^ c  n ) )
5352oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
5444, 53eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
5554mpteq2dva 4237 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
56 ovex 6046 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5819recnd 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5939recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6059adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6158, 60mulcomd 9043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6261oveq2d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6328, 19, 60cxpmuld 20493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6428, 40, 58cxpmuld 20493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6562, 63, 643eqtr3d 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6665oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )
6766mpteq2dva 4237 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) ) )
68 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
69 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
7016, 33, 68, 34, 69lttrd 9164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7168, 70elrpd 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7271, 39rpcxpcld 20489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7372rpred 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
74591cxpd 20466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
75 0le1 9484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7771rpge0d 10585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7838rpreccld 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7933, 76, 68, 77, 78cxplt2d 20485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
8069, 79mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8174, 80eqbrtrrd 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
82 cxp2limlem 20682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8373, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8467, 83eqbrtrd 4174 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8557, 84, 38rlimcxp 20680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8655, 85eqbrtrrd 4176 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8717, 86rlimres2 12283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
88 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8932adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
9088, 89rpcxpcld 20489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9190, 29rpdivcld 10598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9291rpred 10581 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9312, 92sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
94 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9588, 94rpcxpcld 20489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
9695, 29rpdivcld 10598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9712, 96sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9897rpred 10581 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9912, 95sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
10099rpred 10581 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR )
10112, 90sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
102101rpred 10581 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
10312, 29sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
1044adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
10510adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
106 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10732adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
108 max2 10708 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1091, 106, 108sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
110104, 105, 106, 107, 109cxplead 20480 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  <_  (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
111100, 102, 103, 110lediv1dd 10635 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_  ( (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
112111adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_ 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
11397rpge0d 10585 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
0  <_  ( (
n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
114113adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  (
( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
11516, 16, 87, 93, 98, 112, 114rlimsqz2 12372 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11615, 115syl5eqbr 4187 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 )
11796rpcnd 10583 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  CC )
118 eqid 2388 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
119117, 118fmptd 5833 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
120 rpssre 10555 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
121120a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
122119, 121, 33rlimresb 12287 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 ) )
123116, 122mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    |` cres 4821  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    x. cmul 8929    +oocpnf 9051    < clt 9054    <_ cle 9055    / cdiv 9610   RR+crp 10545   [,)cico 10851    ~~> r crli 12207    ^ c ccxp 20321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323
  Copyright terms: Public domain W3C validator