MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Unicode version

Theorem cxp2lim 20219
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 8791 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10691 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR )
5 0re 8792 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
65a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9250 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
98a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  n )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 8930 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  n )
124, 11elrpd 10341 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR+ )
1312ssriv 3145 . . . 4  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
14 resmpt 4974 . . . 4  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
1513, 14ax-mp 10 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
165a1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1713a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
18 rpre 10313 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1918adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
20 rpge0 10319 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2120adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
22 simpl2 964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
235a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
241a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
258a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
26 simpl3 965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2723, 24, 22, 25, 26lttrd 8931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2822, 27elrpd 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2928, 19rpcxpcld 20025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
30 simp1 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
31 ifcl 3561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3230, 1, 31sylancl 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
331a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
348a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
35 max1 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
361, 30, 35sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3716, 33, 32, 34, 36ltletrd 8930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3832, 37elrpd 10341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3938rprecred 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4039adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4129, 40rpcxpcld 20025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4232recnd 8815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4342adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4419, 21, 41, 43divcxpd 20017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4538adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4645rpne0d 10348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4743, 46recid2d 9486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4847oveq2d 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 ) )
4929, 40, 43cxpmuld 20029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
5029rpcnd 10345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  CC )
5150cxp1d 20001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 )  =  ( B  ^ c  n ) )
5248, 49, 513eqtr3d 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^ c  n ) )
5352oveq2d 5794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
5444, 53eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
5554mpteq2dva 4066 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
56 ovex 5803 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5756a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5819recnd 8815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5939recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6059adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6158, 60mulcomd 8810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6261oveq2d 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6328, 19, 60cxpmuld 20029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6428, 40, 58cxpmuld 20029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6562, 63, 643eqtr3d 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6665oveq2d 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )
6766mpteq2dva 4066 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) ) )
68 simp2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
69 simp3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
7016, 33, 68, 34, 69lttrd 8931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7168, 70elrpd 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7271, 39rpcxpcld 20025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7372rpred 10343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
74591cxpd 20002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
75 0le1 9251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7675a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7771rpge0d 10347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7838rpreccld 10353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7933, 76, 68, 77, 78cxplt2d 20021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
8069, 79mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8174, 80eqbrtrrd 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
82 cxp2limlem 20218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8373, 81, 82syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8467, 83eqbrtrd 4003 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8557, 84, 38rlimcxp 20216 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8655, 85eqbrtrrd 4005 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8717, 86rlimres2 11986 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
88 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8932adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
9088, 89rpcxpcld 20025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9190, 29rpdivcld 10360 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9291rpred 10343 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9312, 92sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
94 simpl1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9588, 94rpcxpcld 20025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
9695, 29rpdivcld 10360 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9712, 96sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9897rpred 10343 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9912, 95sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
10099rpred 10343 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR )
10112, 90sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
102101rpred 10343 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
10312, 29sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
1044adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
10510adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
106 simpl1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10732adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
108 max2 10468 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1091, 106, 108sylancr 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
110104, 105, 106, 107, 109cxplead 20016 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  <_  (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
111100, 102, 103, 110lediv1dd 10397 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_  ( (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
112111adantrr 700 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_ 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
11397rpge0d 10347 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
0  <_  ( (
n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
114113adantrr 700 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  (
( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
11516, 16, 87, 93, 98, 112, 114rlimsqz2 12075 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11615, 115syl5eqbr 4016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 )
11796rpcnd 10345 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  CC )
118 eqid 2256 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
119117, 118fmptd 5604 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
120 rpssre 10317 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
121120a1i 12 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
122119, 121, 33rlimresb 11990 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 ) )
123116, 122mpbird 225 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   ifcif 3525   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037    |` cres 4649  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    x. cmul 8696    +oocpnf 8818    < clt 8821    <_ cle 8822    / cdiv 9377   RR+crp 10307   [,)cico 10610    ~~> r crli 11910    ^ c ccxp 19861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-ef 12297  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165  df-log 19862  df-cxp 19863
  Copyright terms: Public domain W3C validator