MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2lim Structured version   Unicode version

Theorem cxp2lim 20815
Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than  1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2lim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxp2lim
StepHypRef Expression
1 1re 9090 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11000 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
43simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR )
5 0re 9091 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9550 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  n )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 9230 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  n )
124, 11elrpd 10646 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  n  e.  RR+ )
1312ssriv 3352 . . . 4  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
14 resmpt 5191 . . . 4  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
165a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  e.  RR )
1713a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
18 rpre 10618 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
1918adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR )
20 rpge0 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR+  ->  0  <_  n )
2120adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <_  n )
22 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
258a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
26 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
1  <  B )
2723, 24, 22, 25, 26lttrd 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
0  <  B )
2822, 27elrpd 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
2928, 19rpcxpcld 20621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
30 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
31 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 )  e.  RR )
3230, 1, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  1 )
35 max1 10773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
361, 30, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <_  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3716, 33, 32, 34, 36ltletrd 9230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )
3832, 37elrpd 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
3938rprecred 10659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
4129, 40rpcxpcld 20621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
4232recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  CC )
4419, 21, 41, 43divcxpd 20613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
4538adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR+ )
4645rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  =/=  0 )
4743, 46recid2d 9786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  1 )
4847oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 ) )
4929, 40, 43cxpmuld 20625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
5029rpcnd 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  CC )
5150cxp1d 20597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
1 )  =  ( B  ^ c  n ) )
5248, 49, 513eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  =  ( B  ^ c  n ) )
5352oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
5444, 53eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  / 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  =  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
5554mpteq2dva 4295 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) ) )
56 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  e. 
_V )
5819recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  CC )
5939recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6059adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  CC )
6158, 60mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )
6261oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) ) )
6328, 19, 60cxpmuld 20625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( n  x.  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
6428, 40, 58cxpmuld 20625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( B  ^ c 
( ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  x.  n ) )  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6562, 63, 643eqtr3d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) )
6665oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  /  (
( B  ^ c  n )  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  =  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )
6766mpteq2dva 4295 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( n  /  (
( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) ) )
68 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
69 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
7016, 33, 68, 34, 69lttrd 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <  B )
7168, 70elrpd 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR+ )
7271, 39rpcxpcld 20621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
7372rpred 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR )
74591cxpd 20598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  =  1 )
75 0le1 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  1 )
7771rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  0  <_  B )
7838rpreccld 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
7933, 76, 68, 77, 78cxplt2d 20617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( 1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )
8069, 79mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
8174, 80eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )
82 cxp2limlem 20814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  ^ c 
( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  <  ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8373, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8467, 83eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8557, 84, 38rlimcxp 20812 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  /  ( ( B  ^ c  n )  ^ c  ( 1  /  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) ) )  ~~> r  0 )
8655, 85eqbrtrrd 4234 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
8717, 86rlimres2 12355 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
88 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
8932adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
9088, 89rpcxpcld 20621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
9190, 29rpdivcld 10665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9291rpred 10648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9312, 92sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
94 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
9588, 94rpcxpcld 20621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
9695, 29rpdivcld 10665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9712, 96sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR+ )
9897rpred 10648 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  RR )
9912, 95sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR+ )
10099rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  e.  RR )
10112, 90sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR+ )
102101rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  e.  RR )
10312, 29sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( B  ^ c  n )  e.  RR+ )
1044adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
10510adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
106 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
10732adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 )  e.  RR )
108 max2 10775 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
1  <_  A ,  A ,  1 ) )
1091, 106, 108sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A  <_  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )
110104, 105, 106, 107, 109cxplead 20612 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( n  ^ c  A )  <_  (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) ) )
111100, 102, 103, 110lediv1dd 10702 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_  ( (
n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A ,  1 ) )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
112111adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  <_ 
( ( n  ^ c  if ( 1  <_  A ,  A , 
1 ) )  / 
( B  ^ c  n ) ) )
11397rpge0d 10652 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  -> 
0  <_  ( (
n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
114113adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  (
1 [,)  +oo )  /\  0  <_  n ) )  ->  0  <_  (
( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )
11516, 16, 87, 93, 98, 112, 114rlimsqz2 12444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
11615, 115syl5eqbr 4245 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 )
11796rpcnd 10650 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) )  e.  CC )
118 eqid 2436 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )
119117, 118fmptd 5893 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) ) : RR+ --> CC )
120 rpssre 10622 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
121120a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  RR+  C_  RR )
122119, 121, 33rlimresb 12359 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0  <-> 
( ( n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A )  /  ( B  ^ c  n ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  ~~> r  0 ) )
123116, 122mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( ( n  ^ c  A
)  /  ( B  ^ c  n ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    |` cres 4880  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   RR+crp 10612   [,)cico 10918    ~~> r crli 12279    ^ c ccxp 20453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455
  Copyright terms: Public domain W3C validator