MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul Unicode version

Theorem cxpmul 20031
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  ^ c  B )  ^ c  C ) )

Proof of Theorem cxpmul
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
2 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
32recnd 8857 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
4 relogcl 19928 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
543ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
65recnd 8857 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
71, 3, 6mulassd 8854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
( C  x.  B
)  x.  ( log `  A ) )  =  ( C  x.  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
83, 1mulcomd 8852 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
98oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
( B  x.  C
)  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( C  x.  B )  x.  ( log `  A ) ) )
10 rpcn 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
11103ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
12 rpne0 10365 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
13123ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
14 cxpef 20008 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
1511, 13, 3, 14syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
1615fveq2d 5490 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( log `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( log `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
172, 5remulcld 8859 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
1817relogefd 19975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( log `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( B  x.  ( log `  A
) ) )
1916, 18eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( log `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( B  x.  ( log `  A ) ) )
2019oveq2d 5836 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( log `  ( A  ^ c  B ) ) )  =  ( C  x.  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
217, 9, 203eqtr4d 2326 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
( B  x.  C
)  x.  ( log `  A ) )  =  ( C  x.  ( log `  ( A  ^ c  B ) ) ) )
2221fveq2d 5490 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( B  x.  C )  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( exp `  ( C  x.  ( log `  ( A  ^ c  B ) ) ) ) )
233, 1mulcld 8851 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
24 cxpef 20008 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  ( B  x.  C )  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  ( B  x.  C ) )  =  ( exp `  (
( B  x.  C
)  x.  ( log `  A ) ) ) )
2511, 13, 23, 24syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  ( B  x.  C ) )  =  ( exp `  (
( B  x.  C
)  x.  ( log `  A ) ) ) )
26 cxpcl 20017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  B )  e.  CC )
2711, 3, 26syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  B )  e.  CC )
28 cxpne0 20020 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  B )  =/=  0 )
2911, 13, 3, 28syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  B )  =/=  0 )
30 cxpef 20008 . . 3  |-  ( ( ( A  ^ c  B )  e.  CC  /\  ( A  ^ c  B )  =/=  0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  ^ c  B )  ^ c  C )  =  ( exp `  ( C  x.  ( log `  ( A  ^ c  B ) ) ) ) )
3127, 29, 1, 30syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  ^ c  B )  ^ c  C )  =  ( exp `  ( C  x.  ( log `  ( A  ^ c  B ) ) ) ) )
3222, 25, 313eqtr4d 2326 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  ^ c  B )  ^ c  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733    x. cmul 8738   RR+crp 10350   expce 12339   logclog 19908    ^ c ccxp 19909
This theorem is referenced by:  cxpmuld  20077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-cxp 19911
  Copyright terms: Public domain W3C validator