Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem3 Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem3 16850
 Description: A cyclic group with elements is isomorphic to . (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b
cygzn.n
cygzn.y ℤ/n
cygzn.m .g
cygzn.l RHom
cygzn.e
cygzn.g CycGrp
cygzn.x
cygzn.f
Assertion
Ref Expression
cygznlem3 𝑔
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem cygznlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4
2 cygzn.b . . . 4
3 eqid 2436 . . . 4
4 eqid 2436 . . . 4
5 cygzn.n . . . . . . 7
6 hashcl 11639 . . . . . . . . 9
76adantl 453 . . . . . . . 8
8 0nn0 10236 . . . . . . . . 9
98a1i 11 . . . . . . . 8
107, 9ifclda 3766 . . . . . . 7
115, 10syl5eqel 2520 . . . . . 6
12 cygzn.y . . . . . . 7 ℤ/n
1312zncrng 16825 . . . . . 6
1411, 13syl 16 . . . . 5
15 crngrng 15674 . . . . 5
16 rnggrp 15669 . . . . 5
1714, 15, 163syl 19 . . . 4
18 cygzn.g . . . . 5 CycGrp
19 cyggrp 15499 . . . . 5 CycGrp
2018, 19syl 16 . . . 4
21 cygzn.m . . . . 5 .g
22 cygzn.l . . . . 5 RHom
23 cygzn.e . . . . 5
24 cygzn.x . . . . 5
25 cygzn.f . . . . 5
262, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2a 16848 . . . 4
2712, 1, 22znzrhfo 16828 . . . . . . . 8
2811, 27syl 16 . . . . . . 7
29 foelrn 5888 . . . . . . 7
3028, 29sylan 458 . . . . . 6
31 foelrn 5888 . . . . . . 7
3228, 31sylan 458 . . . . . 6
3330, 32anim12dan 811 . . . . 5
34 reeanv 2875 . . . . . . 7
3520adantr 452 . . . . . . . . . . 11
36 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
37 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
382, 21, 23iscyggen 15490 . . . . . . . . . . . . . 14
3938simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13
4024, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4140adantr 452 . . . . . . . . . . 11
422, 21, 4mulgdir 14915 . . . . . . . . . . 11
4335, 36, 37, 41, 42syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10
4414, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds flds
4645, 22zrhrhm 16793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds RingHom
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds RingHom
48 rhmghm 15826 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds RingHom flds
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 flds
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 flds
51 zsubrg 16752 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRingfld
5245subrgbas 15877 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRingfld flds
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 flds
54 zex 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 cnfldadd 16708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld
5645, 55ressplusg 13571 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds
5754, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 flds
5853, 57, 3ghmlin 15011 . . . . . . . . . . . . 13 flds
5950, 36, 37, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
6059fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
61 zaddcl 10317 . . . . . . . . . . . 12
622, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16849 . . . . . . . . . . . 12
6361, 62sylan2 461 . . . . . . . . . . 11
6460, 63eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10
652, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16849 . . . . . . . . . . . 12
6665adantrr 698 . . . . . . . . . . 11
672, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16849 . . . . . . . . . . . 12
6867adantrl 697 . . . . . . . . . . 11
6966, 68oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10
7043, 64, 693eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9
71 oveq12 6090 . . . . . . . . . . 11
7271fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
73 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
74 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
7573, 74oveqan12d 6100 . . . . . . . . . 10
7672, 75eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9
7770, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8
7877rexlimdvva 2837 . . . . . . 7
7934, 78syl5bir 210 . . . . . 6
8079imp 419 . . . . 5
8133, 80syldan 457 . . . 4
821, 2, 3, 4, 17, 20, 26, 81isghmd 15015 . . 3
8366, 68eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . 13
842, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24cygznlem1 16847 . . . . . . . . . . . . 13
8583, 84bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12
8685biimpd 199 . . . . . . . . . . 11
8773, 74eqeqan12d 2451 . . . . . . . . . . . 12
88 eqeq12 2448 . . . . . . . . . . . 12
8987, 88imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
9086, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10
9190rexlimdvva 2837 . . . . . . . . 9
9234, 91syl5bir 210 . . . . . . . 8
9392imp 419 . . . . . . 7
9433, 93syldan 457 . . . . . 6
9594ralrimivva 2798 . . . . 5
96 dff13 6004 . . . . 5
9726, 95, 96sylanbrc 646 . . . 4
982, 21, 23iscyggen2 15491 . . . . . . . . 9
9920, 98syl 16 . . . . . . . 8
10024, 99mpbid 202 . . . . . . 7
101100simprd 450 . . . . . 6
102 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
103102eqeq2d 2447 . . . . . . . . 9
104103cbvrexv 2933 . . . . . . . 8
10528adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
106 fof 5653 . . . . . . . . . . . . 13
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . 12
108107ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
10967adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
110109eqcomd 2441 . . . . . . . . . . 11
111 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
112111eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12
113112rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11
114108, 110, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
115 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . 11
116115rexbidv 2726 . . . . . . . . . 10
117114, 116syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9
118117rexlimdva 2830 . . . . . . . 8
119104, 118syl5bi 209 . . . . . . 7
120119ralimdva 2784 . . . . . 6
121101, 120mpd 15 . . . . 5
122 dffo3 5884 . . . . 5
12326, 121, 122sylanbrc 646 . . . 4
124 df-f1o 5461 . . . 4
12597, 123, 124sylanbrc 646 . . 3
1261, 2isgim 15049 . . 3 GrpIso
12782, 125, 126sylanbrc 646 . 2 GrpIso
128 brgici 15057 . 2 GrpIso 𝑔
129 gicsym 15061 . 2 𝑔 𝑔
130127, 128, 1293syl 19 1 𝑔
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956  cif 3739  cop 3817   class class class wbr 4212   cmpt 4266   crn 4879  wf 5450  wf1 5451  wfo 5452  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc0 8990   caddc 8993  cn0 10221  cz 10282  chash 11618  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  cgrp 14685  .gcmg 14689   cghm 15003   GrpIso cgim 15044   𝑔 cgic 15045  CycGrpccyg 15487  crg 15660  ccrg 15661   RingHom crh 15817  SubRingcsubrg 15864  ℂfldccnfld 16703  RHomczrh 16778  ℤ/nℤczn 16781 This theorem is referenced by:  cygzn  16851 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-gic 15047  df-od 15167  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-cyg 15488  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
 Copyright terms: Public domain W3C validator