MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Unicode version

Theorem dchr2sum 20439
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  X ( a )  x.  * Y ( a ) over all  a is nonzero only when  X  =  Y. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr2sum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr2sum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchr2sum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr2sum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchr2sum.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchr2sum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, a    G, a    ph, a    X, a    Y, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    N( a)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr2sum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchr2sum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2256 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 dchr2sum.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 3dchrrcl 20406 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81dchrabl 20420 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 15021 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 dchr2sum.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
133, 12grpsubcl 14473 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
1410, 5, 11, 13syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
15 dchr2sum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 20435 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  if ( ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
175adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
1811adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y  e.  D )
19 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
20 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
213, 19, 20, 12grpsubval 14452 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) )
2217, 18, 21syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )
237adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  N  e.  NN )
2423, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
253, 20grpinvcl 14454 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
2624, 18, 25syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 20414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2822, 27eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2928fveq1d 5425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a ) )
301, 2, 3, 15, 17dchrf 20408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X : B --> CC )
31 ffn 5292 . . . . . 6  |-  ( X : B --> CC  ->  X  Fn  B )
3230, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  Fn  B )
331, 2, 3, 15, 26dchrf 20408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC )
34 ffn 5292 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
36 fvex 5437 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
3715, 36eqeltri 2326 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  _V )
39 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
40 fnfvof 5989 . . . . 5  |-  ( ( ( X  Fn  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  a  e.  B ) )  -> 
( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
4132, 35, 38, 39, 40syl22anc 1188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
421, 3, 18, 20dchrinv 20427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  =  ( *  o.  Y ) )
4342fveq1d 5425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( ( *  o.  Y ) `  a ) )
441, 2, 3, 15, 18dchrf 20408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y : B --> CC )
45 fvco3 5495 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( ( *  o.  Y ) `  a
)  =  ( * `
 ( Y `  a ) ) )
4644, 39, 45syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( *  o.  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4743, 46eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4847oveq2d 5773 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  x.  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
)  =  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a ) ) ) )
4929, 41, 483eqtrd 2292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) ) )
5049sumeq2dv 12106 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a )
) ) )
513, 4, 12grpsubeq0 14479 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5210, 5, 11, 51syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5352ifbid 3524 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( 0g `  G
) ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( X  =  Y , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
5416, 50, 533eqtr3d 2296 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740   ifcif 3506    o. ccom 4630    Fn wfn 4633   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    o Fcof 5975   CCcc 8668   0cc0 8670    x. cmul 8675   NNcn 9679   *ccj 11511   sum_csu 12088   phicphi 12759   Basecbs 13075   +g cplusg 13135   0gc0g 13327   Grpcgrp 14289   inv gcminusg 14290   -gcsg 14292   Abelcabel 15017  ℤ/nczn 16381  DChrcdchr 20398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-disj 3935  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-phi 12761  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-divs 13339  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-mhm 14342  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-mulg 14419  df-subg 14545  df-nsg 14546  df-eqg 14547  df-ghm 14608  df-cntz 14720  df-od 14771  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-cring 15268  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-rnghom 15423  df-drng 15441  df-subrg 15470  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-sra 15852  df-rgmod 15853  df-lidl 15854  df-rsp 15855  df-2idl 15911  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-zrh 16382  df-zn 16385  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-cxp 19842  df-dchr 20399
  Copyright terms: Public domain W3C validator