MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Unicode version

Theorem dchr2sum 20514
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  X ( a )  x.  * Y ( a ) over all  a is nonzero only when  X  =  Y. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr2sum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr2sum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchr2sum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr2sum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchr2sum.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchr2sum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, a    G, a    ph, a    X, a    Y, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    N( a)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr2sum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchr2sum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2285 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 dchr2sum.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 3dchrrcl 20481 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81dchrabl 20495 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 15096 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 dchr2sum.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
133, 12grpsubcl 14548 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
1410, 5, 11, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
15 dchr2sum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 20510 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  if ( ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
175adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
1811adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y  e.  D )
19 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
20 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
213, 19, 20, 12grpsubval 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) )
2217, 18, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )
237adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  N  e.  NN )
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
253, 20grpinvcl 14529 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
2624, 18, 25syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 20489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2822, 27eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2928fveq1d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a ) )
301, 2, 3, 15, 17dchrf 20483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X : B --> CC )
31 ffn 5391 . . . . . 6  |-  ( X : B --> CC  ->  X  Fn  B )
3230, 31syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  Fn  B )
331, 2, 3, 15, 26dchrf 20483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC )
34 ffn 5391 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
3533, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
36 fvex 5541 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
3715, 36eqeltri 2355 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  _V )
39 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
40 fnfvof 6092 . . . . 5  |-  ( ( ( X  Fn  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  a  e.  B ) )  -> 
( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
4132, 35, 38, 39, 40syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
421, 3, 18, 20dchrinv 20502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  =  ( *  o.  Y ) )
4342fveq1d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( ( *  o.  Y ) `  a ) )
441, 2, 3, 15, 18dchrf 20483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y : B --> CC )
45 fvco3 5598 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( ( *  o.  Y ) `  a
)  =  ( * `
 ( Y `  a ) ) )
4644, 39, 45syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( *  o.  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4743, 46eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4847oveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  x.  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
)  =  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a ) ) ) )
4929, 41, 483eqtrd 2321 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) ) )
5049sumeq2dv 12178 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a )
) ) )
513, 4, 12grpsubeq0 14554 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5210, 5, 11, 51syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5352ifbid 3585 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( 0g `  G
) ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( X  =  Y , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
5416, 50, 533eqtr3d 2325 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790   ifcif 3567    o. ccom 4695    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    o Fcof 6078   CCcc 8737   0cc0 8739    x. cmul 8744   NNcn 9748   *ccj 11583   sum_csu 12160   phicphi 12834   Basecbs 13150   +g cplusg 13210   0gc0g 13402   Grpcgrp 14364   inv gcminusg 14365   -gcsg 14367   Abelcabel 15092  ℤ/nczn 16456  DChrcdchr 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-phi 12836  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-divs 13414  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-nsg 14621  df-eqg 14622  df-ghm 14683  df-cntz 14795  df-od 14846  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-rnghom 15498  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-lidl 15929  df-rsp 15930  df-2idl 15986  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-zrh 16457  df-zn 16460  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917  df-dchr 20474
  Copyright terms: Public domain W3C validator