MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Unicode version

Theorem dchrhash 20342
Description: There are exactly  phi ( N ) Dirichlet characters modulo  N. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sumdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrhash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )

Proof of Theorem dchrhash
StepHypRef Expression
1 eqid 2253 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  N
)  =  (ℤ/n `  N
)
2 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )
31, 2znfi 16345 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  e. 
Fin )
4 sumdchr.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
5 sumdchr.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
64, 5dchrfi 20326 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  D  e.  Fin )
7 simprr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  x  e.  D )
84, 1, 5, 2, 7dchrf 20313 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  x :
( Base `  (ℤ/n `  N ) ) --> CC )
9 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
10 ffvelrn 5515 . . . . . 6  |-  ( ( x : ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) --> CC 
/\  a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  ( x `  a )  e.  CC )
118, 9, 10syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  ( x `  a )  e.  CC )
123, 6, 11fsumcom 12115 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) sum_ x  e.  D  ( x `  a )  =  sum_ x  e.  D  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) ( x `
 a ) )
13 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) )  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) )
14 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
15 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
164, 5, 1, 13, 2, 14, 15sumdchr2 20341 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  sum_ x  e.  D  ( x `  a
)  =  if ( a  =  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) ,  ( # `  D
) ,  0 ) )
17 elsn 3559 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) }  <-> 
a  =  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) )
18 ifbi 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  <->  a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) )  ->  if ( a  e.  {
( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 )  =  if ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) ,  (
# `  D ) ,  0 ) )
1917, 18mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  if ( a  e.  { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) } ,  ( # `  D
) ,  0 )  =  if ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) ,  ( # `  D
) ,  0 ) )
2016, 19eqtr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  sum_ x  e.  D  ( x `  a
)  =  if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
2120sumeq2dv 12053 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) sum_ x  e.  D  ( x `  a )  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) if ( a  e.  {
( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
22 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
23 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
244, 1, 5, 22, 23, 2dchrsum 20340 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  -> 
sum_ a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) ( x `  a )  =  if ( x  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
25 elsn 3559 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
26 ifbi 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { ( 0g `  G ) }  <->  x  =  ( 0g `  G ) )  ->  if ( x  e.  { ( 0g
`  G ) } ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( x  =  ( 0g
`  G ) ,  ( phi `  N
) ,  0 ) )
2725, 26mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  ->  if ( x  e. 
{ ( 0g `  G ) } , 
( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( x  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2824, 27eqtr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  -> 
sum_ a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) ( x `  a )  =  if ( x  e.  { ( 0g
`  G ) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2928sumeq2dv 12053 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  D  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) ( x `
 a )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
3012, 21, 293eqtr3d 2293 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
31 nnnn0 9851 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
321zncrng 16330 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  N
)  e.  CRing )
33 crngrng 15186 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n `  N )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  N )  e.  Ring )
3431, 32, 333syl 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (ℤ/n `  N
)  e.  Ring )
352, 13rngidcl 15196 . . . . . 6  |-  ( (ℤ/n `  N )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (ℤ/n `  N
) )  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) )  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) )
3736snssd 3660 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  C_  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
38 hashcl 11228 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e. 
NN0 )
39 nn0cn 9854 . . . . . 6  |-  ( (
# `  D )  e.  NN0  ->  ( # `  D
)  e.  CC )
406, 38, 393syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  e.  CC )
4140ralrimivw 2589 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  e.  CC )
423olcd 384 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Base `  (ℤ/n `  N ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  e.  Fin ) )
43 sumss2 12076 . . . 4  |-  ( ( ( { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) } 
C_  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  /\  A. a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  e.  CC )  /\  ( ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  e.  Fin ) )  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
4437, 41, 42, 43syl21anc 1186 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
454dchrabl 20325 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
46 ablgrp 14929 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
475, 22grpidcl 14345 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  D )
4845, 46, 473syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( 0g `  G )  e.  D )
4948snssd 3660 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  D )
50 phicl 12711 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  NN )
5150nncnd 9642 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  CC )
5251ralrimivw 2589 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  e.  CC )
536olcd 384 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D  C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  D  e. 
Fin ) )
54 sumss2 12076 . . . 4  |-  ( ( ( { ( 0g
`  G ) } 
C_  D  /\  A. x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N
)  e.  CC )  /\  ( D  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  D  e.  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
5549, 52, 53, 54syl21anc 1186 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
5630, 44, 553eqtr4d 2295 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N ) )
57 eqidd 2254 . . . 4  |-  ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) )  -> 
( # `  D )  =  ( # `  D
) )
5857sumsn 12090 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  (ℤ/n `  N
) )  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  ( # `  D )  e.  CC )  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  ( # `
 D )  =  ( # `  D
) )
5936, 40, 58syl2anc 645 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  ( # `  D ) )
60 eqidd 2254 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( phi `  N )  =  ( phi `  N
) )
6160sumsn 12090 . . 3  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  D  /\  ( phi `  N )  e.  CC )  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  =  ( phi `  N ) )
6248, 51, 61syl2anc 645 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  =  ( phi `  N
) )
6356, 59, 623eqtr3d 2293 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509    C_ wss 3078   ifcif 3470   {csn 3544   -->wf 4588   ` cfv 4592   Fincfn 6749   CCcc 8615   0cc0 8617   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZ>=cuz 10109   #chash 11215   sum_csu 12035   phicphi 12706   Basecbs 13022   0gc0g 13274   Grpcgrp 14197   Abelcabel 14925   Ringcrg 15172   CRingccrg 15173   1rcur 15174  ℤ/nczn 16286  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  sumdchr  20343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-rpss 6129  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-word 11286  df-concat 11287  df-s1 11288  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-ga 14579  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-od 14679  df-gex 14680  df-pgp 14681  df-lsm 14782  df-pj1 14783  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-cyg 15000  df-dprd 15068  df-dpj 15069  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-rnghom 15331  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-0p 18857  df-limc 19048  df-dv 19049  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503  df-log 19746  df-cxp 19747  df-dchr 20304
  Copyright terms: Public domain W3C validator