MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Unicode version

Theorem dchrhash 20526
Description: There are exactly  phi ( N ) Dirichlet characters modulo  N. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sumdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrhash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )

Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  N
)  =  (ℤ/n `  N
)
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )
31, 2znfi 16529 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  e. 
Fin )
4 sumdchr.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
5 sumdchr.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
64, 5dchrfi 20510 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  D  e.  Fin )
7 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  x  e.  D )
84, 1, 5, 2, 7dchrf 20497 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  x :
( Base `  (ℤ/n `  N ) ) --> CC )
9 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
10 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( x : ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) --> CC 
/\  a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  ( x `  a )  e.  CC )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  ( x `  a )  e.  CC )
123, 6, 11fsumcom 12254 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) sum_ x  e.  D  ( x `  a )  =  sum_ x  e.  D  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) ( x `
 a ) )
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) )  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) )
14 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
15 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
164, 5, 1, 13, 2, 14, 15sumdchr2 20525 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  sum_ x  e.  D  ( x `  a
)  =  if ( a  =  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) ,  ( # `  D
) ,  0 ) )
17 elsn 3668 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) }  <-> 
a  =  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) )
18 ifbi 3595 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  <->  a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) )  ->  if ( a  e.  {
( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 )  =  if ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) ,  (
# `  D ) ,  0 ) )
1917, 18mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  if ( a  e.  { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) } ,  ( # `  D
) ,  0 )  =  if ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) ,  ( # `  D
) ,  0 ) )
2016, 19eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  sum_ x  e.  D  ( x `  a
)  =  if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
2120sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) sum_ x  e.  D  ( x `  a )  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) if ( a  e.  {
( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
22 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
244, 1, 5, 22, 23, 2dchrsum 20524 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  -> 
sum_ a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) ( x `  a )  =  if ( x  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
25 elsn 3668 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
26 ifbi 3595 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { ( 0g `  G ) }  <->  x  =  ( 0g `  G ) )  ->  if ( x  e.  { ( 0g
`  G ) } ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( x  =  ( 0g
`  G ) ,  ( phi `  N
) ,  0 ) )
2725, 26mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  ->  if ( x  e. 
{ ( 0g `  G ) } , 
( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( x  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2824, 27eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  -> 
sum_ a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) ( x `  a )  =  if ( x  e.  { ( 0g
`  G ) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2928sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  D  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) ( x `
 a )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
3012, 21, 293eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
31 nnnn0 9988 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
321zncrng 16514 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  N
)  e.  CRing )
33 crngrng 15367 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n `  N )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  N )  e.  Ring )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (ℤ/n `  N
)  e.  Ring )
352, 13rngidcl 15377 . . . . . 6  |-  ( (ℤ/n `  N )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (ℤ/n `  N
) )  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) )  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) )
3736snssd 3776 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  C_  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
38 hashcl 11366 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e. 
NN0 )
39 nn0cn 9991 . . . . . 6  |-  ( (
# `  D )  e.  NN0  ->  ( # `  D
)  e.  CC )
406, 38, 393syl 18 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  e.  CC )
4140ralrimivw 2640 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  e.  CC )
423olcd 382 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Base `  (ℤ/n `  N ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  e.  Fin ) )
43 sumss2 12215 . . . 4  |-  ( ( ( { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) } 
C_  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  /\  A. a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  e.  CC )  /\  ( ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  e.  Fin ) )  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
4437, 41, 42, 43syl21anc 1181 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
454dchrabl 20509 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
46 ablgrp 15110 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
475, 22grpidcl 14526 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  D )
4845, 46, 473syl 18 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( 0g `  G )  e.  D )
4948snssd 3776 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  D )
50 phicl 12853 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  NN )
5150nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  CC )
5251ralrimivw 2640 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  e.  CC )
536olcd 382 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D  C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  D  e. 
Fin ) )
54 sumss2 12215 . . . 4  |-  ( ( ( { ( 0g
`  G ) } 
C_  D  /\  A. x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N
)  e.  CC )  /\  ( D  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  D  e.  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
5549, 52, 53, 54syl21anc 1181 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
5630, 44, 553eqtr4d 2338 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N ) )
57 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) )  -> 
( # `  D )  =  ( # `  D
) )
5857sumsn 12229 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  (ℤ/n `  N
) )  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  ( # `  D )  e.  CC )  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  ( # `
 D )  =  ( # `  D
) )
5936, 40, 58syl2anc 642 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  ( # `  D ) )
60 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( phi `  N )  =  ( phi `  N
) )
6160sumsn 12229 . . 3  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  D  /\  ( phi `  N )  e.  CC )  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  =  ( phi `  N ) )
6248, 51, 61syl2anc 642 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  =  ( phi `  N
) )
6356, 59, 623eqtr3d 2336 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   #chash 11353   sum_csu 12174   phicphi 12848   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   Abelcabel 15106   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  sumdchr  20527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-phi 12850  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-ga 14760  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-od 14860  df-gex 14861  df-pgp 14862  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-cyg 15181  df-dprd 15249  df-dpj 15250  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator