MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Unicode version

Theorem dchrisum 20635
Description: If  n  e.  [ M ,  +oo )  |->  A ( n ) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum  sum_ n ,  X
( n ) A ( n ) is convergent, with the partial sum  sum_ n  <_  x ,  X ( n ) A ( n ) within  O ( A ( M ) ) of the limit  T. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, c, t,  .1.    F, c, n, t, x    A, c, t, x    N, c, n, t, x    ph, c, n, t, x    B, c, n    n, Z, x    D, c, n, t, x    L, c, n, t, x    M, c, n, x    X, c, n, t, x
Dummy variables  m  u  i  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x, t)    G( x, t, n, c)    M( t)    Z( t, c)

Proof of Theorem dchrisum
StepHypRef Expression
1 fzofi 11030 . . 3  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2 fzofi 11030 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ u )  e.  Fin
32a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0..^ u )  e.  Fin )
4 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
98adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  X  e.  D
)
10 elfzoelz 10869 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 0..^ u )  ->  m  e.  ZZ )
1110adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  m  e.  ZZ )
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 20478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
133, 12fsumcl 12200 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )
1413abscld 11912 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  RR )
1514ralrimivw 2628 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
16 fimaxre3 9698 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
171, 15, 16sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
18 rpvmasum.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  N  e.  NN )
20 rpvmasum.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
218adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  e.  D )
22 dchrisum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
2322adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  =/=  .1.  )
24 dchrisum.2 . . . . 5  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
25 dchrisum.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2625adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  M  e.  NN )
27 dchrisum.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2827adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
29 dchrisum.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
30293adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
31 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
3231adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
33 dchrisum.7 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
34 simprl 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  r  e.  RR )
35 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
)
36 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( X `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
3837cbvsumv 12163 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)
39 oveq2 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  i  ->  (
0..^ u )  =  ( 0..^ i ) )
4039sumeq1d 12168 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  i  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4138, 40syl5eq 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4241fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  i  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
4342breq1d 4034 . . . . . . 7  |-  ( u  =  i  ->  (
( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  r
) )
4443cbvralv 2765 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
4535, 44sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
465, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45dchrisumlem3 20634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
4746expr 600 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
4847rexlimdva 2668 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
4917, 48mpd 16 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Fincfn 6858   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    +oocpnf 8859    <_ cle 8863    - cmin 9032   NNcn 9741   ZZcz 10019   RR+crp 10349   [,)cico 10652  ..^cfzo 10864   |_cfl 10918    seq cseq 11040   abscabs 11713    ~~> cli 11952    ~~> r crli 11953   sum_csu 12152   Basecbs 13142   0gc0g 13394   ZRHomczrh 16445  ℤ/nczn 16448  DChrcdchr 20465
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  20636  dchrvmasumlema  20643  dchrisum0lema  20657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-rp 10350  df-ico 10656  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-phi 12828  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-0g 13398  df-imas 13405  df-divs 13406  df-mnd 14361  df-mhm 14409  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-mulg 14486  df-subg 14612  df-nsg 14613  df-eqg 14614  df-ghm 14675  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-cring 15335  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-rnghom 15490  df-subrg 15537  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-sra 15919  df-rgmod 15920  df-lidl 15921  df-rsp 15922  df-2idl 15978  df-cnfld 16372  df-zrh 16449  df-zn 16452  df-dchr 20466
  Copyright terms: Public domain W3C validator