Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Unicode version

Theorem dchrisum 20641
 Description: If is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum is convergent, with the partial sum within of the limit . Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
Assertion
Ref Expression
dchrisum
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   ()   (,)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11036 . . 3 ..^
2 fzofi 11036 . . . . . . 7 ..^
32a1i 10 . . . . . 6 ..^
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 DChr
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 ℤ/n
6 rpvmasum.d . . . . . . 7
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 RHom
8 dchrisum.b . . . . . . . 8
98adantr 451 . . . . . . 7 ..^
10 elfzoelz 10875 . . . . . . . 8 ..^
1110adantl 452 . . . . . . 7 ..^
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 20484 . . . . . 6 ..^
133, 12fsumcl 12206 . . . . 5 ..^
1413abscld 11918 . . . 4 ..^
1514ralrimivw 2627 . . 3 ..^ ..^
16 fimaxre3 9703 . . 3 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
171, 15, 16sylancr 644 . 2 ..^ ..^
18 rpvmasum.a . . . . . 6
1918adantr 451 . . . . 5 ..^ ..^
20 rpvmasum.1 . . . . 5
218adantr 451 . . . . 5 ..^ ..^
22 dchrisum.n1 . . . . . 6
2322adantr 451 . . . . 5 ..^ ..^
24 dchrisum.2 . . . . 5
25 dchrisum.3 . . . . . 6
2625adantr 451 . . . . 5 ..^ ..^
27 dchrisum.4 . . . . . 6
2827adantlr 695 . . . . 5 ..^ ..^
29 dchrisum.5 . . . . . 6
30293adant1r 1175 . . . . 5 ..^ ..^
31 dchrisum.6 . . . . . 6
3231adantr 451 . . . . 5 ..^ ..^
33 dchrisum.7 . . . . 5
34 simprl 732 . . . . 5 ..^ ..^
35 simprr 733 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
3837cbvsumv 12169 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
39 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4039sumeq1d 12174 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4138, 40syl5eq 2327 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4241fveq2d 5529 . . . . . . . 8 ..^ ..^
4342breq1d 4033 . . . . . . 7 ..^ ..^
4443cbvralv 2764 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
4535, 44sylib 188 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
465, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45dchrisumlem3 20640 . . . 4 ..^ ..^
4746expr 598 . . 3 ..^ ..^
4847rexlimdva 2667 . 2 ..^ ..^
4917, 48mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544   class class class wbr 4023   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   cpnf 8864   cle 8868   cmin 9037  cn 9746  cz 10024  crp 10354  cico 10658  ..^cfzo 10870  cfl 10924   cseq 11046  cabs 11719   cli 11958   crli 11959  csu 12158  cbs 13148  c0g 13400  RHomczrh 16451  ℤ/nℤczn 16454  DChrcdchr 20471 This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  20642  dchrvmasumlema  20649  dchrisum0lema  20663 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dchr 20472
 Copyright terms: Public domain W3C validator