MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Unicode version

Theorem dchrisum 20589
Description: If  n  e.  [ M ,  +oo )  |->  A ( n ) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum  sum_ n ,  X
( n ) A ( n ) is convergent, with the partial sum  sum_ n  <_  x ,  X ( n ) A ( n ) within  O ( A ( M ) ) of the limit  T. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, c, t,  .1.    F, c, n, t, x    A, c, t, x    N, c, n, t, x    ph, c, n, t, x    B, c, n    n, Z, x    D, c, n, t, x    L, c, n, t, x    M, c, n, x    X, c, n, t, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x, t)    G( x, t, n, c)    M( t)    Z( t, c)

Proof of Theorem dchrisum
StepHypRef Expression
1 fzofi 10988 . . 3  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2 fzofi 10988 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ u )  e.  Fin
32a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0..^ u )  e.  Fin )
4 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
98adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  X  e.  D
)
10 elfzoelz 10827 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 0..^ u )  ->  m  e.  ZZ )
1110adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  m  e.  ZZ )
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 20432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
133, 12fsumcl 12157 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )
1413abscld 11869 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  RR )
1514ralrimivw 2600 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
16 fimaxre3 9657 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
171, 15, 16sylancr 647 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
18 rpvmasum.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  N  e.  NN )
20 rpvmasum.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
218adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  e.  D )
22 dchrisum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
2322adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  =/=  .1.  )
24 dchrisum.2 . . . . 5  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
25 dchrisum.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2625adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  M  e.  NN )
27 dchrisum.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2827adantlr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
29 dchrisum.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
30293adant1r 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
31 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
3231adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
33 dchrisum.7 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
34 simprl 735 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  r  e.  RR )
35 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
)
36 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( X `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
3837cbvsumv 12120 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)
39 oveq2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  i  ->  (
0..^ u )  =  ( 0..^ i ) )
4039sumeq1d 12125 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  i  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4138, 40syl5eq 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4241fveq2d 5448 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  i  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
4342breq1d 3993 . . . . . . 7  |-  ( u  =  i  ->  (
( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  r
) )
4443cbvralv 2734 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
4535, 44sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
465, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45dchrisumlem3 20588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
4746expr 601 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
4847rexlimdva 2640 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
4917, 48mpd 16 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Fincfn 6817   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    +oocpnf 8818    <_ cle 8822    - cmin 8991   NNcn 9700   ZZcz 9977   RR+crp 10307   [,)cico 10610  ..^cfzo 10822   |_cfl 10876    seq cseq 10998   abscabs 11670    ~~> cli 11909    ~~> r crli 11910   sum_csu 12109   Basecbs 13096   0gc0g 13348   ZRHomczrh 16399  ℤ/nczn 16402  DChrcdchr 20419
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  20590  dchrvmasumlema  20597  dchrisum0lema  20611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-map 6728  df-pm 6729  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-rp 10308  df-ico 10614  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-phi 12782  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-0g 13352  df-imas 13359  df-divs 13360  df-mnd 14315  df-mhm 14363  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-mulg 14440  df-subg 14566  df-nsg 14567  df-eqg 14568  df-ghm 14629  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-cring 15289  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-rnghom 15444  df-subrg 15491  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lsp 15677  df-sra 15873  df-rgmod 15874  df-lidl 15875  df-rsp 15876  df-2idl 15932  df-cnfld 16326  df-zrh 16403  df-zn 16406  df-dchr 20420
  Copyright terms: Public domain W3C validator