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Theorem dchrisum0 20501
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 20475 and dchrvmasumif 20484. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . 2  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . 2  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . 2  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 eqid 2253 . 2  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) )  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) )
8 rpvmasum2.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3179 . . . . 5  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3129 . . . 4  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 difss 3220 . . . 4  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1210, 11sstri 3109 . . 3  |-  W  C_  D
13 dchrisum0.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1412, 13sseldi 3101 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 20494 . 2  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
16 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  ( sqr `  k )  =  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )
1716oveq2d 5726 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
18 rpre 10239 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1918adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
2014ad3antrrr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  X  e.  D )
21 ssrab2 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  NN
2221sseli 3099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  NN )
2322nnzd 9995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  ZZ )
2423adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  m  e.  ZZ )
254, 1, 5, 2, 20, 24dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
26 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
2827nnrpd 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
2928rpsqrcld 11771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  RR+ )
3029rpcnd 10271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3130adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3229rpne0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3332adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3425, 31, 33divcld 9416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) )  e.  CC )
3534anasss 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) )  e.  CC )
3617, 19, 35dvdsflsumcom 20260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 20486 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3827, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3938oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  (
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
40 fzfid 10913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
41 sgmss 20176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
4227, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
43 ssfi 6968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { i  e.  NN  | 
i  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  e.  Fin )
4544, 30, 25, 32fsumdivc 12125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( X `  ( L `  m
) )  /  ( sqr `  k ) )  =  sum_ m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k } 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) ) )
4639, 45eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
4746sumeq2dv 12053 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) ) )
48 rprege0 10247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4948adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
50 resqrth 11618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( ( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
5251fveq2d 5381 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( |_
`  x ) )
5352oveq2d 5726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
5451oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m )  =  ( x  /  m
) )
5554fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )  =  ( |_
`  ( x  /  m ) ) )
5655oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) )
5756sumeq1d 12051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5857adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5953, 58sumeq12dv 12056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6036, 47, 593eqtr4d 2295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6160mpteq2dva 4003 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) ) ) )
62 rpsqrcl 11627 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
6362adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
64 eqidd 2254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )
65 eqidd 2254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
66 oveq1 5717 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( z ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
6766fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( z ^ 2 ) )  =  ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) )
6867oveq2d 5726 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )
6966oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( (
z ^ 2 )  /  m )  =  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )
7069fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) )  =  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m ) ) )
7170oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) )
7271sumeq1d 12051 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7372adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  ( sqr `  x )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7468, 73sumeq12dv 12056 . . . . 5  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7563, 64, 65, 74fmptco 5543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
7661, 75eqtr4d 2288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) ) )
77 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
781, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 77dchrisum0lema 20495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) )
793adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
8013adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  X  e.  W )
81 simprl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
82 simprrl 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t )
83 simprrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )
841, 2, 79, 4, 5, 6, 8, 80, 77, 81, 82, 83dchrisum0lem3 20500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8584expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8685rexlimdva 2629 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8786exlimdv 1932 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8878, 87mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
89 o1f 11880 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  (  z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
9088, 89syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  (  z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
91 sumex 12037 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e. 
_V
92 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
9391, 92dmmpti 5230 . . . . . 6  |-  dom  ( 
z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  RR+
9493feq2i 5241 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  (  z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC  <->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
9590, 94sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
96 rpssre 10243 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
9796a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
98 resqcl 11049 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
9998adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ 2 )  e.  RR )
100 0re 8718 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
101100a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  e.  RR )
102 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  e.  RR )
103 simplrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_  x )
10448ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
105104adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
106105, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
107103, 106breqtrrd 3946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
108102adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  e.  RR )
10963rpred 10269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
110109ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR )
111110adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
112 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  t )
113 sqrge0 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( sqr `  x ) )
114104, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
115114adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
116108, 111, 112, 115le2sqd 11158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t  <_  ( sqr `  x
)  <->  ( t ^
2 )  <_  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )
117107, 116mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
118102adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  e.  RR )
119100a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
120110adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
121 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  0 )
122114adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
123118, 119, 120, 121, 122letrd 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
124101, 102, 117, 123lecasei 8806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
125124expr 601 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
126125ralrimiva 2588 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
127 breq1 3923 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
c  <_  x  <->  ( t ^ 2 )  <_  x ) )
128127imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )  <->  ( (
t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) ) )
129128ralbidv 2527 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  ( A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) ) )
130129rcla4ev 2821 . . . . 5  |-  ( ( ( t ^ 2 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR+  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
13199, 126, 130syl2anc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
13295, 88, 63, 97, 131o1compt 11938 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
13376, 132eqeltrd 2327 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  O ( 1 ) )
1341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 133dchrisum0fno1 20492 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512    \ cdif 3075    C_ wss 3078   {csn 3544   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   dom cdm 4580    o. ccom 4584   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Fincfn 6749   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    +oocpnf 8744    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   ZZcz 9903   RR+crp 10233   [,)cico 10536   ...cfz 10660   |_cfl 10802    seq cseq 10924   ^cexp 10982   sqrcsqr 11595   abscabs 11596    ~~> cli 11835   O (
1 )co1 11837   sum_csu 12035    || cdivides 12405   Basecbs 13022   0gc0g 13274   ZRHomczrh 16283  ℤ/nczn 16286  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  dchrisumn0  20502  rpvmasum  20507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-rpss 6129  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-word 11286  df-concat 11287  df-s1 11288  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-numer 12680  df-denom 12681  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-ga 14579  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-od 14679  df-gex 14680  df-pgp 14681  df-lsm 14782  df-pj1 14783  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-cyg 15000  df-dprd 15068  df-dpj 15069  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-0p 18857  df-limc 19048  df-dv 19049  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169  df-mu 20170  df-dchr 20304
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