MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Unicode version

Theorem dchrisum0 20669
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 20643 and dchrvmasumif 20652. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables  k  x  z  c  i 
t  d  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . 2  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . 2  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . 2  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 eqid 2283 . 2  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) )  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) )
8 rpvmasum2.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3208 . . . 4  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 difss 3303 . . . 4  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1210, 11sstri 3188 . . 3  |-  W  C_  D
13 dchrisum0.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1412, 13sseldi 3178 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 20662 . 2  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
16 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  ( sqr `  k )  =  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
18 rpre 10360 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1918adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
2014ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  X  e.  D )
21 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  NN
2221sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  NN )
2322nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  ZZ )
2423adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  m  e.  ZZ )
254, 1, 5, 2, 20, 24dchrzrhcl 20484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
26 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
2827nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
2928rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  RR+ )
3029rpcnd 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3130adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3229rpne0d 10395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3332adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3425, 31, 33divcld 9536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) )  e.  CC )
3534anasss 628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) )  e.  CC )
3617, 19, 35dvdsflsumcom 20428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 20654 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3827, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3938oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  (
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
40 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
41 sgmss 20344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
4227, 41syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
43 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { i  e.  NN  | 
i  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  e.  Fin )
4544, 30, 25, 32fsumdivc 12248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( X `  ( L `  m
) )  /  ( sqr `  k ) )  =  sum_ m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k } 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) ) )
4639, 45eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
4746sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) ) )
48 rprege0 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4948adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
50 resqrth 11741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( ( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
5251fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( |_
`  x ) )
5352oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
5451oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m )  =  ( x  /  m
) )
5554fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )  =  ( |_
`  ( x  /  m ) ) )
5655oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) )
5756sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5857adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5953, 58sumeq12dv 12179 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6036, 47, 593eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6160mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) ) ) )
62 rpsqrcl 11750 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
6362adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
64 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )
65 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
66 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( z ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
6766fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( z ^ 2 ) )  =  ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) )
6867oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )
6966oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( (
z ^ 2 )  /  m )  =  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )
7069fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) )  =  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m ) ) )
7170oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) )
7271sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7372adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  ( sqr `  x )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7468, 73sumeq12dv 12179 . . . . 5  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7563, 64, 65, 74fmptco 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
7661, 75eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) ) )
77 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
781, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 77dchrisum0lema 20663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) )
793adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
8013adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  X  e.  W )
81 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
82 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t )
83 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )
841, 2, 79, 4, 5, 6, 8, 80, 77, 81, 82, 83dchrisum0lem3 20668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8584expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8685rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8786exlimdv 1664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8878, 87mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
89 o1f 12003 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
9088, 89syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
91 sumex 12160 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e. 
_V
92 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
9391, 92dmmpti 5373 . . . . . 6  |-  dom  (
z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  RR+
9493feq2i 5384 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC  <->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
9590, 94sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
96 rpssre 10364 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
9796a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
98 resqcl 11171 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
9998adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ 2 )  e.  RR )
100 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
101100a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  e.  RR )
102 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  e.  RR )
103 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_  x )
10448ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
106105, 50syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
107103, 106breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
108102adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  e.  RR )
10963rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
110109ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR )
111110adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
112 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  t )
113 sqrge0 11743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( sqr `  x ) )
114104, 113syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
115114adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
116108, 111, 112, 115le2sqd 11280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t  <_  ( sqr `  x
)  <->  ( t ^
2 )  <_  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )
117107, 116mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
118102adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  e.  RR )
119100a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
120110adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
121 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  0 )
122114adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
123118, 119, 120, 121, 122letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
124101, 102, 117, 123lecasei 8926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
125124expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
126125ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
127 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
c  <_  x  <->  ( t ^ 2 )  <_  x ) )
128127imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )  <->  ( (
t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) ) )
129128ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  ( A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) ) )
130129rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( t ^ 2 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR+  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
13199, 126, 130syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
13295, 88, 63, 97, 131o1compt 12061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
13376, 132eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  O ( 1 ) )
1341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 133dchrisum0fno1 20660 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719    ~~> cli 11958   O (
1 )co1 11960   sum_csu 12158    || cdivides 12531   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrisumn0  20670  rpvmasum  20675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-dprd 15233  df-dpj 15234  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator