Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Unicode version

Theorem dchrisum0 21202
 Description: The sum is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 21176 and dchrvmasumif 21185. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
Assertion
Ref Expression
dchrisum0
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 ℤ/n
2 rpvmasum.l . 2 RHom
3 rpvmasum.a . 2
4 rpvmasum2.g . 2 DChr
5 rpvmasum2.d . 2
6 rpvmasum2.1 . 2
7 eqid 2435 . 2
8 rpvmasum2.w . . . . 5
9 ssrab2 3420 . . . . 5
108, 9eqsstri 3370 . . . 4
11 difss 3466 . . . 4
1210, 11sstri 3349 . . 3
13 dchrisum0.b . . 3
1412, 13sseldi 3338 . 2
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 21195 . 2
16 fveq2 5719 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6088 . . . . . . 7
18 rpre 10607 . . . . . . . 8
1918adantl 453 . . . . . . 7
2014ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10
21 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . 12
2221nnzd 10363 . . . . . . . . . . 11
2322adantl 453 . . . . . . . . . 10
244, 1, 5, 2, 20, 23dchrzrhcl 21017 . . . . . . . . 9
25 elfznn 11069 . . . . . . . . . . . . . 14
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
2726nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . 12
2827rpsqrcld 12202 . . . . . . . . . . 11
2928rpcnd 10639 . . . . . . . . . 10
3029adantr 452 . . . . . . . . 9
3128rpne0d 10642 . . . . . . . . . 10
3231adantr 452 . . . . . . . . 9
3324, 30, 32divcld 9779 . . . . . . . 8
3433anasss 629 . . . . . . 7
3517, 19, 34dvdsflsumcom 20961 . . . . . 6
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 21187 . . . . . . . . . 10
3726, 36syl 16 . . . . . . . . 9
3837oveq1d 6087 . . . . . . . 8
39 fzfid 11300 . . . . . . . . . 10
40 sgmss 20877 . . . . . . . . . . 11
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
42 ssfi 7320 . . . . . . . . . 10
4339, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9
4443, 29, 24, 31fsumdivc 12557 . . . . . . . 8
4538, 44eqtrd 2467 . . . . . . 7
4645sumeq2dv 12485 . . . . . 6
47 rprege0 10615 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 453 . . . . . . . . . 10
49 resqrth 12049 . . . . . . . . . 10
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9
5150fveq2d 5723 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6088 . . . . . . 7
5350oveq1d 6087 . . . . . . . . . . 11
5453fveq2d 5723 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6088 . . . . . . . . 9
5655sumeq1d 12483 . . . . . . . 8
5756adantr 452 . . . . . . 7
5852, 57sumeq12dv 12488 . . . . . 6
5935, 46, 583eqtr4d 2477 . . . . 5
6059mpteq2dva 4287 . . . 4
61 rpsqrcl 12058 . . . . . 6
6261adantl 453 . . . . 5
63 eqidd 2436 . . . . 5
64 eqidd 2436 . . . . 5
65 oveq1 6079 . . . . . . . 8
6665fveq2d 5723 . . . . . . 7
6766oveq2d 6088 . . . . . 6
6865oveq1d 6087 . . . . . . . . . 10
6968fveq2d 5723 . . . . . . . . 9
7069oveq2d 6088 . . . . . . . 8
7170sumeq1d 12483 . . . . . . 7
7271adantr 452 . . . . . 6
7367, 72sumeq12dv 12488 . . . . 5
7462, 63, 64, 73fmptco 5892 . . . 4
7560, 74eqtr4d 2470 . . 3
76 eqid 2435 . . . . . . . 8
771, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76dchrisum0lema 21196 . . . . . . 7
783adantr 452 . . . . . . . . . 10
7913adantr 452 . . . . . . . . . 10
80 simprl 733 . . . . . . . . . 10
81 simprrl 741 . . . . . . . . . 10
82 simprrr 742 . . . . . . . . . 10
831, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82dchrisum0lem3 21201 . . . . . . . . 9
8483rexlimdvaa 2823 . . . . . . . 8
8584exlimdv 1646 . . . . . . 7
8677, 85mpd 15 . . . . . 6
87 o1f 12311 . . . . . 6
8886, 87syl 16 . . . . 5
89 sumex 12469 . . . . . . 7
90 eqid 2435 . . . . . . 7
9189, 90dmmpti 5565 . . . . . 6
9291feq2i 5577 . . . . 5
9388, 92sylib 189 . . . 4
94 rpssre 10611 . . . . 5
9594a1i 11 . . . 4
96 resqcl 11437 . . . . . 6
9796adantl 453 . . . . 5
98 0re 9080 . . . . . . . . 9
9998a1i 11 . . . . . . . 8
100 simplr 732 . . . . . . . 8
101 simplrr 738 . . . . . . . . . 10
10247ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11
104103, 49syl 16 . . . . . . . . . 10
105101, 104breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9
106100adantr 452 . . . . . . . . . 10
10762rpred 10637 . . . . . . . . . . . 12
108107ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11
109108adantr 452 . . . . . . . . . 10
110 simpr 448 . . . . . . . . . 10
111 sqrge0 12051 . . . . . . . . . . . 12
112102, 111syl 16 . . . . . . . . . . 11
113112adantr 452 . . . . . . . . . 10
114106, 109, 110, 113le2sqd 11546 . . . . . . . . 9
115105, 114mpbird 224 . . . . . . . 8
116100adantr 452 . . . . . . . . 9
11798a1i 11 . . . . . . . . 9
118108adantr 452 . . . . . . . . 9
119 simpr 448 . . . . . . . . 9
120112adantr 452 . . . . . . . . 9
121116, 117, 118, 119, 120letrd 9216 . . . . . . . 8
12299, 100, 115, 121lecasei 9168 . . . . . . 7
123122expr 599 . . . . . 6
124123ralrimiva 2781 . . . . 5
125 breq1 4207 . . . . . . . 8
126125imbi1d 309 . . . . . . 7
127126ralbidv 2717 . . . . . 6
128127rspcev 3044 . . . . 5
12997, 124, 128syl2anc 643 . . . 4
13093, 86, 62, 95, 129o1compt 12369 . . 3
13175, 130eqeltrd 2509 . 2
1321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 131dchrisum0fno1 21193 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4869   ccom 4873  wf 5441  cfv 5445  (class class class)co 6072  cfn 7100  cc 8977  cr 8978  cc0 8979  c1 8980   caddc 8982   cmul 8984   cpnf 9106   cle 9110   cmin 9280   cdiv 9666  cn 9989  c2 10038  cz 10271  crp 10601  cico 10907  cfz 11032  cfl 11189   cseq 11311  cexp 11370  csqr 12026  cabs 12027   cli 12266  co1 12268  csu 12467   cdivides 12840  cbs 13457  c0g 13711  RHomczrh 16766  ℤ/nℤczn 16769  DChrcdchr 21004 This theorem is referenced by:  dchrisumn0  21203  rpvmasum  21208 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-rpss 6513  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-word 11711  df-concat 11712  df-s1 11713  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-numer 13115  df-denom 13116  df-phi 13143  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-divs 13723  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-mhm 14726  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-nsg 14930  df-eqg 14931  df-ghm 14992  df-gim 15034  df-ga 15055  df-cntz 15104  df-oppg 15130  df-od 15155  df-gex 15156  df-pgp 15157  df-lsm 15258  df-pj1 15259  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-cyg 15476  df-dprd 15544  df-dpj 15545  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-rnghom 15807  df-drng 15825  df-subrg 15854  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-sra 16232  df-rgmod 16233  df-lidl 16234  df-rsp 16235  df-2idl 16291  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-zrh 16770  df-zn 16773  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-0p 19550  df-limc 19741  df-dv 19742  df-ply 20095  df-idp 20096  df-coe 20097  df-dgr 20098  df-quot 20196  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870  df-mu 20871  df-dchr 21005
 Copyright terms: Public domain W3C validator