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Theorem dchrisum0 20596
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 20570 and dchrvmasumif 20579. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . 2  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . 2  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . 2  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 eqid 2256 . 2  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) )  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) )
8 rpvmasum2.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3200 . . . . 5  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3150 . . . 4  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 difss 3245 . . . 4  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1210, 11sstri 3130 . . 3  |-  W  C_  D
13 dchrisum0.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1412, 13sseldi 3120 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 20589 . 2  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
16 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  ( sqr `  k )  =  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )
1716oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
18 rpre 10292 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1918adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
2014ad3antrrr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  X  e.  D )
21 ssrab2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  NN
2221sseli 3118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  NN )
2322nnzd 10048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  ZZ )
2423adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  m  e.  ZZ )
254, 1, 5, 2, 20, 24dchrzrhcl 20411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
26 elfznn 10750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
2827nnrpd 10321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
2928rpsqrcld 11824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  RR+ )
3029rpcnd 10324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3130adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3229rpne0d 10327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3332adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3425, 31, 33divcld 9469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) )  e.  CC )
3534anasss 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) )  e.  CC )
3617, 19, 35dvdsflsumcom 20355 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 20581 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3827, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3938oveq1d 5772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  (
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
40 fzfid 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
41 sgmss 20271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
4227, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
43 ssfi 7016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { i  e.  NN  | 
i  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  e.  Fin )
4544, 30, 25, 32fsumdivc 12178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( X `  ( L `  m
) )  /  ( sqr `  k ) )  =  sum_ m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k } 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) ) )
4639, 45eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
4746sumeq2dv 12106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) ) )
48 rprege0 10300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4948adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
50 resqrth 11671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( ( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
5251fveq2d 5427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( |_
`  x ) )
5352oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
5451oveq1d 5772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m )  =  ( x  /  m
) )
5554fveq2d 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )  =  ( |_
`  ( x  /  m ) ) )
5655oveq2d 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) )
5756sumeq1d 12104 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5857adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5953, 58sumeq12dv 12109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6036, 47, 593eqtr4d 2298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6160mpteq2dva 4046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) ) ) )
62 rpsqrcl 11680 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
6362adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
64 eqidd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )
65 eqidd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
66 oveq1 5764 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( z ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
6766fveq2d 5427 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( z ^ 2 ) )  =  ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) )
6867oveq2d 5773 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )
6966oveq1d 5772 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( (
z ^ 2 )  /  m )  =  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )
7069fveq2d 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) )  =  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m ) ) )
7170oveq2d 5773 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) )
7271sumeq1d 12104 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7372adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  ( sqr `  x )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7468, 73sumeq12dv 12109 . . . . 5  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7563, 64, 65, 74fmptco 5590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
7661, 75eqtr4d 2291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) ) )
77 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
781, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 77dchrisum0lema 20590 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) )
793adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
8013adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  X  e.  W )
81 simprl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
82 simprrl 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t )
83 simprrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )
841, 2, 79, 4, 5, 6, 8, 80, 77, 81, 82, 83dchrisum0lem3 20595 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8584expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8685rexlimdva 2638 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8786exlimdv 1933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
( sqr `  y
) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8878, 87mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
89 o1f 11933 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  (  z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
9088, 89syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  (  z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
91 sumex 12090 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e. 
_V
92 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
9391, 92dmmpti 5276 . . . . . 6  |-  dom  ( 
z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  RR+
9493feq2i 5287 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  (  z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC  <->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
9590, 94sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
96 rpssre 10296 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
9796a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
98 resqcl 11102 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
9998adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ 2 )  e.  RR )
100 0re 8771 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
101100a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  e.  RR )
102 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  e.  RR )
103 simplrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_  x )
10448ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
105104adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
106105, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
107103, 106breqtrrd 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
108102adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  e.  RR )
10963rpred 10322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
110109ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR )
111110adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
112 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  t )
113 sqrge0 11673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( sqr `  x ) )
114104, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
115114adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
116108, 111, 112, 115le2sqd 11211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t  <_  ( sqr `  x
)  <->  ( t ^
2 )  <_  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )
117107, 116mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
118102adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  e.  RR )
119100a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
120110adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
121 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  0 )
122114adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
123118, 119, 120, 121, 122letrd 8906 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
124101, 102, 117, 123lecasei 8859 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
125124expr 601 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
126125ralrimiva 2597 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
127 breq1 3966 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
c  <_  x  <->  ( t ^ 2 )  <_  x ) )
128127imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )  <->  ( (
t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) ) )
129128ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  ( A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) ) )
130129rcla4ev 2835 . . . . 5  |-  ( ( ( t ^ 2 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR+  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
13199, 126, 130syl2anc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
13295, 88, 63, 97, 131o1compt 11991 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
13376, 132eqeltrd 2330 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  O ( 1 ) )
1341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 133dchrisum0fno1 20587 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2519    \ cdif 3091    C_ wss 3094   {csn 3581   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   dom cdm 4626    o. ccom 4630   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Fincfn 6796   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    +oocpnf 8797    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   ZZcz 9956   RR+crp 10286   [,)cico 10589   ...cfz 10713   |_cfl 10855    seq cseq 10977   ^cexp 11035   sqrcsqr 11648   abscabs 11649    ~~> cli 11888   O (
1 )co1 11890   sum_csu 12088    || cdivides 12458   Basecbs 13075   0gc0g 13327   ZRHomczrh 16378  ℤ/nczn 16381  DChrcdchr 20398
This theorem is referenced by:  dchrisumn0  20597  rpvmasum  20602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-disj 3935  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-rpss 6176  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-word 11339  df-concat 11340  df-s1 11341  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-o1 11894  df-lo1 11895  df-sum 12089  df-ef 12276  df-e 12277  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-numer 12733  df-denom 12734  df-phi 12761  df-pc 12817  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-divs 13339  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-mhm 14342  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-mulg 14419  df-subg 14545  df-nsg 14546  df-eqg 14547  df-ghm 14608  df-gim 14650  df-ga 14671  df-cntz 14720  df-oppg 14746  df-od 14771  df-gex 14772  df-pgp 14773  df-lsm 14874  df-pj1 14875  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-cyg 15092  df-dprd 15160  df-dpj 15161  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-cring 15268  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-rnghom 15423  df-drng 15441  df-subrg 15470  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-sra 15852  df-rgmod 15853  df-lidl 15854  df-rsp 15855  df-2idl 15911  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-zrh 16382  df-zn 16385  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-0p 18952  df-limc 19143  df-dv 19144  df-ply 19497  df-idp 19498  df-coe 19499  df-dgr 19500  df-quot 19598  df-log 19841  df-cxp 19842  df-em 20214  df-cht 20261  df-vma 20262  df-chp 20263  df-ppi 20264  df-mu 20265  df-dchr 20399
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