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Theorem dchrisum0flb 21204
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0flb.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    q, b,
v, A    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables  k 
y  i  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0flb.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnuz 10521 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleq 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 11065 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... A ) )
6 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... 1
) )
76raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... 1
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
87imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
9 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... i
) )
109raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1110imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
12 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... (
i  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... (
i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1413imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
15 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... A
) )
1615raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... A
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... A ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
18 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
19 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 rpvmasum.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21 rpvmasum2.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
22 rpvmasum2.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
23 rpvmasum2.1 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
24 dchrisum0f.f . . . . . 6  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
25 dchrisum0f.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
26 dchrisum0flb.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
27 2prm 13095 . . . . . . 7  |-  2  e.  Prime
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  Prime )
29 0nn0 10236 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
3118, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 30dchrisum0flblem1 21202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) )
32 elfz1eq 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  y  =  1 )
33 2nn0 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
3433numexp0 13412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
3532, 34syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  y  =  ( 2 ^ 0 ) )
3635fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
2 ^ 0 ) ) )
3736eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  (
( sqr `  y
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ) )
3837ifbid 3757 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
3935fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) )
4038, 39breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) ) )
4140biimprcd 217 . . . . . 6  |-  ( if ( ( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
4241ralrimiv 2788 . . . . 5  |-  ( if ( ( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) )  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
4331, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
44 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
4544, 2syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4645adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
i  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 eluzp1p1 10511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
49 df-2 10058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5049fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
5148, 50syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
52 exprmfct 13110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
i  +  1 ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  p 
||  ( i  +  1 ) )
5420ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
5525ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  X  e.  D )
5626ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  X : ( Base `  Z
) --> RR )
5751adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  p  e.  Prime )
59 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  p  ||  ( i  +  1 ) )
60 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
61 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
6261nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
63 fzval3 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
6564raleqdv 2910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
6660, 65mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
6718, 19, 54, 21, 22, 23, 24, 55, 56, 57, 58, 59, 66dchrisum0flblem2 21203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
6853, 67rexlimddv 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
69 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  +  1 )  e. 
_V
70 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
i  +  1 ) ) )
7170eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( sqr `  y
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ) )
7271ifbid 3757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
73 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7472, 73breq12d 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
7569, 74ralsn 3849 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
)  <->  if ( ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7668, 75sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  { ( i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
7776expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  { ( i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
7877ancld 537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) ) )
79 fzsuc 11096 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( i  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) )
8045, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( i  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) )
8180raleqdv 2910 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
82 ralunb 3528 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( (
1 ... i )  u. 
{ ( i  +  1 ) } ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
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( F `  y
) ) )
8381, 82syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y
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1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
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( F `  y
) ) ) )
8478, 83sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( (
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) ) )
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i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) ) )
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( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... i
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( F `  y
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955, 88, 94sylc 58 1  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    u. cun 3318   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    <_ cle 9121   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038   sum_csu 12479    || cdivides 12852   Primecprime 13079   Basecbs 13469   0gc0g 13723   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  21205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-numer 13127  df-denom 13128  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-od 15167  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-dchr 21017
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