MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Unicode version

Theorem dchrisum0fmul 20878
Description: The function  F, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0fmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
dchrisum0fmul.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
dchrisum0fmul.m  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    q, b,
v, A    N, q    B, b, q, v    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables  k 
i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 dchrisum0fmul.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 dchrisum0fmul.m . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
4 eqid 2366 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  A }
5 eqid 2366 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  B }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  B }
6 eqid 2366 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  ( A  x.  B ) }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B ) }
7 rpvmasum2.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
8 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
9 rpvmasum2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
10 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
11 dchrisum0f.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  X  e.  D )
13 ssrab2 3344 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  C_  NN
1413sseli 3262 . . . . . 6  |-  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ->  j  e.  NN )
1514nnzd 10267 . . . . 5  |-  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ->  j  e.  ZZ )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  j  e.  ZZ )
177, 8, 9, 10, 12, 16dchrzrhcl 20707 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  ( X `  ( L `  j
) )  e.  CC )
1811adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  X  e.  D )
19 ssrab2 3344 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  B }  C_  NN
2019sseli 3262 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ->  k  e.  NN )
2120nnzd 10267 . . . . 5  |-  ( k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ->  k  e.  ZZ )
2221adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  k  e.  ZZ )
237, 8, 9, 10, 18, 22dchrzrhcl 20707 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  ( X `  ( L `  k
) )  e.  CC )
2415, 21anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( j  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  /\  k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } )  ->  (
j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)
2511adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  D )
26 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
j  e.  ZZ )
27 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  ZZ )
287, 8, 9, 10, 25, 26, 27dchrzrhmul 20708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  j ) )  x.  ( X `  ( L `  k )
) ) )
2928eqcomd 2371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  j ) )  x.  ( X `
 ( L `  k ) ) )  =  ( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) ) )
3024, 29sylan2 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  /\  k  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  B } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  j ) )  x.  ( X `  ( L `  k )
) )  =  ( X `  ( L `
 ( j  x.  k ) ) ) )
31 fveq2 5632 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  ( L `  i )  =  ( L `  ( j  x.  k
) ) )
3231fveq2d 5636 . . 3  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  ( X `  ( L `  i ) )  =  ( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) ) )
331, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 23, 30, 32fsumdvdsmul 20658 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
)  x.  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )  =  sum_ i  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B
) }  ( X `
 ( L `  i ) ) )
34 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
35 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
36 dchrisum0f.f . . . . 5  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
378, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20877 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  sum_ j  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
) )
381, 37syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  sum_ j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
) )
398, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20877 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )
402, 39syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )
4138, 40oveq12d 5999 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B )
)  =  ( sum_ j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ( X `  ( L `  j
) )  x.  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ( X `  ( L `  k
) ) ) )
421, 2nnmulcld 9940 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
438, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20877 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  NN  ->  ( F `  ( A  x.  B ) )  = 
sum_ i  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  ( A  x.  B ) }  ( X `  ( L `  i ) ) )
4442, 43syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  sum_ i  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B ) }  ( X `  ( L `  i )
) )
4533, 41, 443eqtr4rd 2409 1  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1c1 8885    x. cmul 8889   NNcn 9893   ZZcz 10175   sum_csu 12366    || cdivides 12739    gcd cgcd 12893   Basecbs 13356   0gc0g 13610   ZRHomczrh 16668  ℤ/nczn 16671  DChrcdchr 20694
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  20881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-ec 6804  df-qs 6808  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-imas 13621  df-divs 13622  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-nsg 14829  df-eqg 14830  df-ghm 14891  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-rnghom 15706  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-sra 16135  df-rgmod 16136  df-lidl 16137  df-rsp 16138  df-2idl 16194  df-cnfld 16594  df-zrh 16672  df-zn 16675  df-dchr 20695
  Copyright terms: Public domain W3C validator