MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Unicode version

Theorem dchrisum0fmul 20618
Description: The function  F, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0fmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
dchrisum0fmul.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
dchrisum0fmul.m  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    q, b,
v, A    N, q    B, b, q, v    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 dchrisum0fmul.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 dchrisum0fmul.m . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
4 eqid 2258 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  A }
5 eqid 2258 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  B }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  B }
6 eqid 2258 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  ( A  x.  B ) }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B ) }
7 rpvmasum2.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
8 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
9 rpvmasum2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
10 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
11 dchrisum0f.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1211adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  X  e.  D )
13 ssrab2 3233 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  C_  NN
1413sseli 3151 . . . . . 6  |-  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ->  j  e.  NN )
1514nnzd 10084 . . . . 5  |-  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ->  j  e.  ZZ )
1615adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  j  e.  ZZ )
177, 8, 9, 10, 12, 16dchrzrhcl 20447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  ( X `  ( L `  j
) )  e.  CC )
1811adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  X  e.  D )
19 ssrab2 3233 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  B }  C_  NN
2019sseli 3151 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ->  k  e.  NN )
2120nnzd 10084 . . . . 5  |-  ( k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ->  k  e.  ZZ )
2221adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  k  e.  ZZ )
237, 8, 9, 10, 18, 22dchrzrhcl 20447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  ( X `  ( L `  k
) )  e.  CC )
2415, 21anim12i 551 . . . 4  |-  ( ( j  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  /\  k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } )  ->  (
j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)
2511adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  D )
26 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
j  e.  ZZ )
27 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  ZZ )
287, 8, 9, 10, 25, 26, 27dchrzrhmul 20448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  j ) )  x.  ( X `  ( L `  k )
) ) )
2928eqcomd 2263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  j ) )  x.  ( X `
 ( L `  k ) ) )  =  ( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) ) )
3024, 29sylan2 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  /\  k  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  B } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  j ) )  x.  ( X `  ( L `  k )
) )  =  ( X `  ( L `
 ( j  x.  k ) ) ) )
31 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  ( L `  i )  =  ( L `  ( j  x.  k
) ) )
3231fveq2d 5462 . . 3  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  ( X `  ( L `  i ) )  =  ( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) ) )
331, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 23, 30, 32fsumdvdsmul 20398 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
)  x.  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )  =  sum_ i  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B
) }  ( X `
 ( L `  i ) ) )
34 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
35 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
36 dchrisum0f.f . . . . 5  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
378, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20617 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  sum_ j  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
) )
381, 37syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  sum_ j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
) )
398, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20617 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )
402, 39syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )
4138, 40oveq12d 5810 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B )
)  =  ( sum_ j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ( X `  ( L `  j
) )  x.  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ( X `  ( L `  k
) ) ) )
421, 2nnmulcld 9761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
438, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20617 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  NN  ->  ( F `  ( A  x.  B ) )  = 
sum_ i  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  ( A  x.  B ) }  ( X `  ( L `  i ) ) )
4442, 43syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  sum_ i  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B ) }  ( X `  ( L `  i )
) )
4533, 41, 443eqtr4rd 2301 1  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2522   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   1c1 8706    x. cmul 8710   NNcn 9714   ZZcz 9992   sum_csu 12124    || cdivides 12494    gcd cgcd 12648   Basecbs 13111   0gc0g 13363   ZRHomczrh 16414  ℤ/nczn 16417  DChrcdchr 20434
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  20621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-rp 10323  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-sum 12125  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-0g 13367  df-imas 13374  df-divs 13375  df-mnd 14330  df-mhm 14378  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-mulg 14455  df-subg 14581  df-nsg 14582  df-eqg 14583  df-ghm 14644  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-cring 15304  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-rnghom 15459  df-subrg 15506  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-lsp 15692  df-sra 15888  df-rgmod 15889  df-lidl 15890  df-rsp 15891  df-2idl 15947  df-cnfld 16341  df-zrh 16418  df-zn 16421  df-dchr 20435
  Copyright terms: Public domain W3C validator