Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Unicode version

Theorem dchrisum0fmul 21188
 Description: The function , the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0fmul.a
dchrisum0fmul.b
dchrisum0fmul.m
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3
2 dchrisum0fmul.b . . 3
3 dchrisum0fmul.m . . 3
4 eqid 2435 . . 3
5 eqid 2435 . . 3
6 eqid 2435 . . 3
7 rpvmasum2.g . . . 4 DChr
8 rpvmasum.z . . . 4 ℤ/n
9 rpvmasum2.d . . . 4
10 rpvmasum.l . . . 4 RHom
11 dchrisum0f.x . . . . 5
1211adantr 452 . . . 4
13 elrabi 3082 . . . . . 6
1413nnzd 10363 . . . . 5
1514adantl 453 . . . 4
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 21017 . . 3
1711adantr 452 . . . 4
18 elrabi 3082 . . . . . 6
1918nnzd 10363 . . . . 5
2019adantl 453 . . . 4
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 21017 . . 3
2214, 19anim12i 550 . . . 4
2311adantr 452 . . . . . 6
24 simprl 733 . . . . . 6
25 simprr 734 . . . . . 6
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 21018 . . . . 5
2726eqcomd 2440 . . . 4
2822, 27sylan2 461 . . 3
29 fveq2 5719 . . . 4
3029fveq2d 5723 . . 3
311, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 30fsumdvdsmul 20968 . 2
32 rpvmasum.a . . . . 5
33 rpvmasum2.1 . . . . 5
34 dchrisum0f.f . . . . 5
358, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 21187 . . . 4
361, 35syl 16 . . 3
378, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 21187 . . . 4
382, 37syl 16 . . 3
3936, 38oveq12d 6090 . 2
401, 2nnmulcld 10036 . . 3
418, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 21187 . . 3
4240, 41syl 16 . 2
4331, 39, 423eqtr4rd 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5445  (class class class)co 6072  c1 8980   cmul 8984  cn 9989  cz 10271  csu 12467   cdivides 12840   cgcd 12994  cbs 13457  c0g 13711  RHomczrh 16766  ℤ/nℤczn 16769  DChrcdchr 21004 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  21191 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-0g 13715  df-imas 13722  df-divs 13723  df-mnd 14678  df-mhm 14726  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-nsg 14930  df-eqg 14931  df-ghm 14992  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-rnghom 15807  df-subrg 15854  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-sra 16232  df-rgmod 16233  df-lidl 16234  df-rsp 16235  df-2idl 16291  df-cnfld 16692  df-zrh 16770  df-zn 16773  df-dchr 21005
 Copyright terms: Public domain W3C validator