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Theorem dchrisum0re 20610
Description: Suppose  X is a non-principal Dirichlet character with  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n  =  0. Then  X is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0re
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 rpvmasum2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2256 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
6 ssrab2 3219 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
75, 6eqsstri 3169 . . . . . 6  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
8 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
97, 8sseldi 3139 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
10 eldifi 3259 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  e.  D )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11dchrf 20429 . . 3  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
13 ffn 5313 . . 3  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
15 ffvelrn 5583 . . . . 5  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  x
)  e.  CC )
1612, 15sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
17 fvco3 5516 . . . . . 6  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( *  o.  X ) `  x
)  =  ( * `
 ( X `  x ) ) )
1812, 17sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
*  o.  X ) `
 x )  =  ( * `  ( X `  x )
) )
19 logno1 19931 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 )
20 1re 8791 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2120a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  1  e.  RR )
22 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
23 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
24 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
25 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
2623nnnn0d 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
272zncrng 16446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
29 crngrng 15299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
31 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3225, 311unit 15388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  (Unit `  Z )
)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  (Unit `  Z ) )
34 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } )  =  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } )
35 eqidd 2257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  W )  ->  ( 1r `  Z )  =  ( 1r `  Z
) )
362, 22, 23, 1, 3, 24, 5, 25, 33, 34, 35rpvmasum2 20609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3736adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3823phicld 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
3938nnnn0d 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN0 )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( phi `  N )  e.  NN0 )
4140nn0red 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
42 fzfid 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
43 inss1 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
44 ssfi 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  e.  Fin )
4542, 43, 44sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  e.  Fin )
4643sseli 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
47 elfznn 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4946, 48sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  n  e.  NN )
50 vmacl 20304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
51 nndivre 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5250, 51mpancom 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
5445, 53fsumrecl 12158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5541, 54remulcld 8817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )
56 relogcl 19880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
5756adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
581, 3dchrfi 20442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  D  e.  Fin )
5923, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
60 difss 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
617, 60sstri 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  C_  D
62 ssfi 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  W  C_  D )  ->  W  e.  Fin )
6359, 61, 62sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
64 hashcl 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
6665nn0red 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
67 resubcl 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
6820, 66, 67sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
6968adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  W
) )  e.  RR )
7057, 69remulcld 8817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 W ) ) )  e.  RR )
7155, 70resubcld 9165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
7271recnd 8815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  CC )
7372adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  CC )
7456adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
7574recnd 8815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
7656ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
7770ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) )  e.  RR )
7876, 77readdcld 8816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
79 0re 8792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
8079a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  e.  RR )
8155ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )
82 2re 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
8382a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  e.  RR )
8466ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
8583, 84resubcld 9165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
86 log1 19887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
87 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
88 1rp 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR+
89 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
90 logleb 19905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
9188, 89, 90sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
9287, 91mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
9386, 92syl5eqbrr 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
94 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( *  o.  X
)  =/=  X )
95 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
961, 3, 11, 95dchrinv 20448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  =  ( *  o.  X ) )
971dchrabl 20441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9823, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
99 ablgrp 15042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1013, 95grpinvcl 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  D )
102100, 11, 101syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  D )
10396, 102eqeltrrd 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  D )
104 eldifsni 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1059, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
1063, 24grpidcl 14458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  D )
107100, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
1083, 95, 100, 11, 107grpinv11 14485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  =  ( ( inv g `  G ) `  .1.  ) 
<->  X  =  .1.  )
)
109108necon3bid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  =/=  ( ( inv g `  G ) `  .1.  ) 
<->  X  =/=  .1.  )
)
110105, 109mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  =/=  ( ( inv g `  G
) `  .1.  )
)
11124, 95grpinvid 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( inv g `  G ) `  .1.  )  =  .1.  )
112100, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  .1.  )  =  .1.  )
113110, 96, 1123netr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  =/=  .1.  )
114 eldifsn 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( *  o.  X )  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( (
*  o.  X )  e.  D  /\  (
*  o.  X )  =/=  .1.  ) )
115103, 113, 114sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
116 nnuz 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
117 1z 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
118117a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
119 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  m  ->  ( L `  n )  =  ( L `  m ) )
120119fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
121 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
122120, 121oveq12d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  m  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
123122fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
* `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( * `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
124 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  |->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) )
125 fvex 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e. 
_V
126123, 124, 125fvmpt 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) `  m
)  =  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
127126adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )
128 nnre 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
129128adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
130129cjred 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 m )  =  m )
131130oveq2d 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( * `  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( * `  m ) )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `
 m ) ) )  /  m ) )
13212adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X :
( Base `  Z ) --> CC )
1332, 4, 22znzrhfo 16449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
13426, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z ) )
135 fof 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
137 nnz 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
138 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
139136, 137, 138syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( L `
 m )  e.  ( Base `  Z
) )
140 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
141132, 139, 140syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
142 nncn 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
143142adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
144 nnne0 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
145144adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
146141, 143, 145cjdivd 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `
 m ) ) )  /  ( * `
 m ) ) )
147 fvco3 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  (
( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  =  ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) ) )
148132, 139, 147syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  =  ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) ) )
149148oveq1d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  m ) )
150131, 146, 1493eqtr4d 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m ) )  /  m ) )
151127, 150eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
152141cjcld 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  CC )
153152, 143, 145divcld 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( * `  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  m )  e.  CC )
154149, 153eqeltrd 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
155 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
1562, 22, 23, 1, 3, 24, 11, 105, 155dchrmusumlema 20590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) )
157 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t )
1588adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  W )
15923adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
16011adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  D )
161105adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
162 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
163 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )
1642, 22, 159, 1, 3, 24, 160, 161, 155, 162, 157, 163, 5dchrvmaeq0 20601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( X  e.  W  <->  t  =  0 ) )
165158, 164mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  t  = 
0 )
166157, 165breqtrd 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  0 )
167166expr 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
168167rexlimdva 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
169168exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
170156, 169mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  0 )
171 seqex 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) )  e.  _V
172171a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  e. 
_V )
173 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
174173fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
175 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
176174, 175oveq12d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
177 ovex 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
178176, 155, 177fvmpt 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
179178adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
180141, 143, 145divcld 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
181179, 180eqeltrd 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) `  m )  e.  CC )
182116, 118, 181serf 11026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) : NN --> CC )
183 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  k )  e.  CC )
184182, 183sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) ) `  k
)  e.  CC )
185 fzfid 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
186 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
187 elfznn 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
188186, 187, 180syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  e.  CC )
189185, 188fsumcj 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( * `
 sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )
190186, 187, 179syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
191 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
192191, 116syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
193190, 192, 188fsumser 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 k ) )
194193fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( * `
 sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( * `
 (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  k
) ) )
195186, 187, 127syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) `  m
)  =  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
196180cjcld 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
197186, 187, 196syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
* `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
198195, 192, 197fsumser 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) ) `  k ) )
199189, 194, 1983eqtr3rd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( * `  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) ) `  k
) ) )
200116, 170, 172, 118, 184, 199climcj 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  ~~>  ( * `
 0 ) )
201 cj0 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( * `
 0 )  =  0
202200, 201syl6breq 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  ~~>  0 )
203116, 118, 151, 154, 202isumclim 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 )
204 fveq1 5443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m )
) )
205204oveq1d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
206205sumeq2sdv 12128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m ) )
207206eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
208207, 5elrab2 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( *  o.  X )  e.  W  <->  ( (
*  o.  X )  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_
m  e.  NN  (
( ( *  o.  X ) `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
209115, 203, 208sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  W )
210209ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( *  o.  X
)  e.  W )
2118ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  X  e.  W )
212 hashprg 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( *  o.  X
)  e.  W  /\  X  e.  W )  ->  ( ( *  o.  X )  =/=  X  <->  (
# `  { (
*  o.  X ) ,  X } )  =  2 ) )
213210, 211, 212syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( *  o.  X )  =/=  X  <->  (
# `  { (
*  o.  X ) ,  X } )  =  2 ) )
21494, 213mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  { ( *  o.  X ) ,  X } )  =  2 )
21563ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  W  e.  Fin )
216 prssi 3731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( *  o.  X
)  e.  W  /\  X  e.  W )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W )
217210, 211, 216syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W )
218 ssdomg 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  ~<_  W ) )
219215, 217, 218sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  ~<_  W )
220 hashdomi 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { ( *  o.  X
) ,  X }  ~<_  W  ->  ( # `  {
( *  o.  X
) ,  X }
)  <_  ( # `  W
) )
221219, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  { ( *  o.  X ) ,  X } )  <_  ( # `  W
) )
222214, 221eqbrtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  <_  ( # `  W
) )
223 suble0 9242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( 2  -  ( # `  W
) )  <_  0  <->  2  <_  ( # `  W
) ) )
22482, 84, 223sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 2  -  ( # `  W
) )  <_  0  <->  2  <_  ( # `  W
) ) )
225222, 224mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  <_  0 )
22685, 80, 76, 93, 225lemul2ad 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  <_ 
( ( log `  x
)  x.  0 ) )
227 df-2 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
228227oveq1i 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  ( # `  W
) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( # `  W ) )
229 ax-1cn 8749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
230229a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  CC )
23184recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  W )  e.  CC )
232230, 230, 231addsubassd 9131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1  +  1 )  -  ( # `
 W ) )  =  ( 1  +  ( 1  -  ( # `
 W ) ) ) )
233228, 232syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  =  ( 1  +  ( 1  -  ( # `
 W ) ) ) )
234233oveq2d 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  =  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  +  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
23575adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
23668ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
237236recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  CC )
238235, 230, 237adddid 8813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 1  +  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  =  ( ( ( log `  x )  x.  1 )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
239235mulid1d 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  1 )  =  ( log `  x
) )
240239oveq1d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  x.  1 )  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  =  ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
241234, 238, 2403eqtrd 2292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  =  ( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
242235mul01d 8965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  0 )  =  0 )
243226, 241, 2423brtr3d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  0 )
24438nnred 9715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  RR )
245244ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( phi `  N
)  e.  RR )
24654ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
24739ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( phi `  N
)  e.  NN0 )
248247nn0ge0d 9974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( phi `  N ) )
24949, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
250 vmage0 20307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
25149, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
25249nnred 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
25349nngt0d 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <  n
)
254 divge0 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (Λ `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  (Λ `  n )
)  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
0  <_  ( (Λ `  n )  /  n
) )
255249, 251, 252, 253, 254syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  /  n ) )
25645, 53, 255fsumge0 12204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
257256ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
258245, 246, 248, 257mulge0d 9303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
25978, 80, 81, 243, 258letrd 8927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
260 leaddsub 9204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) )  e.  RR  /\  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x )  x.  (
1  -  ( # `  W ) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  <->  ( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
26176, 77, 81, 260syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  <->  ( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
262259, 261mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
26376, 93absidd 11856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( log `  x ) )  =  ( log `  x
) )
26471ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
26580, 76, 264, 93, 262letrd 8927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
266264, 265absidd 11856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
267262, 263, 2663brtr4d 4013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  (
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
26821, 37, 73, 75, 267o1le 12077 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) )  e.  O
( 1 ) )
269268ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( *  o.  X )  =/=  X  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
270269necon1bd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  ( *  o.  X )  =  X ) )
27119, 270mpi 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  =  X )
272271adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( *  o.  X )  =  X )
273272fveq1d 5446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
*  o.  X ) `
 x )  =  ( X `  x
) )
27418, 273eqtr3d 2290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( * `  ( X `  x
) )  =  ( X `  x ) )
27516, 274cjrebd 11638 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  RR )
276275ralrimiva 2599 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( X `  x
)  e.  RR )
277 ffnfv 5605 . 2  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> RR  <->  ( X  Fn  ( Base `  Z
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( X `  x )  e.  RR ) )
27814, 276, 277sylanbrc 648 1  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2520   _Vcvv 2757    \ cdif 3110    i^i cin 3112    C_ wss 3113   {csn 3600   {cpr 3601   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   `'ccnv 4646   "cima 4650    o. ccom 4651    Fn wfn 4654   -->wf 4655   -onto->wfo 4657   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    ~<_ cdom 6815   Fincfn 6817   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    +oocpnf 8818    < clt 8821    <_ cle 8822    - cmin 8991    / cdiv 9377   NNcn 9700   2c2 9749   NN0cn0 9918   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183   RR+crp 10307   [,)cico 10610   ...cfz 10734   |_cfl 10876    seq cseq 10998   #chash 11289   *ccj 11532   abscabs 11670    ~~> cli 11909   O (
1 )co1 11911   sum_csu 12109   phicphi 12780   Basecbs 13096   0gc0g 13348   Grpcgrp 14310   inv gcminusg 14311   Abelcabel 15038   Ringcrg 15285   CRingccrg 15286   1rcur 15287  Unitcui 15369   ZRHomczrh 16399  ℤ/nczn 16402   logclog 19860  Λcvma 20277  DChrcdchr 20419
This theorem is referenced by:  dchrisum0  20617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-rpss 6197  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-word 11360  df-concat 11361  df-s1 11362  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-o1 11915  df-lo1 11916  df-sum 12110  df-ef 12297  df-e 12298  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-prime 12707  df-phi 12782  df-pc 12838  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-divs 13360  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-mhm 14363  df-submnd 14364  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-mulg 14440  df-subg 14566  df-nsg 14567  df-eqg 14568  df-ghm 14629  df-gim 14671  df-ga 14692  df-cntz 14741  df-oppg 14767  df-od 14792  df-gex 14793  df-pgp 14794  df-lsm 14895  df-pj1 14896  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-cyg 15113  df-dprd 15181  df-dpj 15182  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-cring 15289  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-dvr 15413  df-rnghom 15444  df-drng 15462  df-subrg 15491  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lsp 15677  df-sra 15873  df-rgmod 15874  df-lidl 15875  df-rsp 15876  df-2idl 15932  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-zrh 16403  df-zn 16406  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-0p 18973  df-limc 19164  df-dv 19165  df-ply 19518  df-idp 19519  df-coe 19520  df-dgr 19521  df-quot 19619  df-log 19862  df-cxp 19863  df-em 20235  df-cht 20282  df-vma 20283  df-chp 20284  df-ppi 20285  df-mu 20286  df-dchr 20420
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