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Theorem dchrisum0re 21207
 Description: Suppose is a non-principal Dirichlet character with . Then is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrisum0re
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4 DChr
2 rpvmasum.z . . . 4 ℤ/n
3 rpvmasum2.d . . . 4
4 eqid 2436 . . . 4
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7
6 ssrab2 3428 . . . . . . 7
75, 6eqsstri 3378 . . . . . 6
8 dchrisum0.b . . . . . 6
97, 8sseldi 3346 . . . . 5
109eldifad 3332 . . . 4
111, 2, 3, 4, 10dchrf 21026 . . 3
12 ffn 5591 . . 3
1311, 12syl 16 . 2
1411ffvelrnda 5870 . . . 4
15 fvco3 5800 . . . . . 6
1611, 15sylan 458 . . . . 5
17 logno1 20527 . . . . . . . 8
18 1re 9090 . . . . . . . . . . . 12
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11
20 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13 RHom
21 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13
22 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13
23 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13 Unit Unit
2421nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
252zncrng 16825 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 crngrng 15674 . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
29 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
3023, 291unit 15763 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
3128, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Unit
32 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
33 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . 13
342, 20, 21, 1, 3, 22, 5, 23, 31, 32, 33rpvmasum2 21206 . . . . . . . . . . . 12 Λ
3534adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Λ
3621phicld 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4340, 41, 42sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4441sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4744, 46sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 vmacl 20901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Λ
49 nndivre 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Λ Λ
5048, 49mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λ
5147, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Λ
5243, 51fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 Λ
5339, 52remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . 14 Λ
54 relogcl 20473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
561, 3dchrfi 21039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5721, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58 difss 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
597, 58sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6157, 59, 60sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 resubcl 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6618, 64, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
6855, 67remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . 14
6953, 68resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . 13 Λ
7069recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12 Λ
7170adantlr 696 . . . . . . . . . . 11 Λ
7254adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
7372recnd 9114 . . . . . . . . . . 11
7454ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
7568ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
7674, 75readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . . 14
77 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
7953ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14 Λ
80 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8264ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8381, 82resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 log1 20480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86 1rp 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88 logleb 20498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8986, 87, 88sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9085, 89mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9184, 90syl5eqbrr 4246 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
941, 3, 10, 93dchrinv 21045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
951dchrabl 21038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9621, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
97 ablgrp 15417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
993, 93grpinvcl 14850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10098, 10, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10194, 100eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102 eldifsni 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1039, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1043, 22grpidcl 14833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10598, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1063, 93, 98, 10, 105grpinv11 14860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
107106necon3bid 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
108103, 107mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10922, 93grpinvid 14856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11098, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
111108, 94, 1103netr3d 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113101, 111, 112sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
114 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115 1z 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
118117fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
119 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
120118, 119oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
121120fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
122 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
123 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
124121, 122, 123fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
125124adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
126 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
127126adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
128127cjred 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
129128oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13011adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1312, 4, 20znzrhfo 16828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
13224, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
133 fof 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
135 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
136 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
137134, 135, 136syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
138130, 137ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
139 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
140139adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
141 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
142141adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
143138, 140, 142cjdivd 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
144 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
145130, 137, 144syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
146145oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
147129, 143, 1463eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
148125, 147eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
149138cjcld 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
150149, 140, 142divcld 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
151146, 150eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
152 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1532, 20, 21, 1, 3, 22, 10, 103, 152dchrmusumlema 21187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
154 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1558adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15621adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
15710adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
158103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
159 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
160 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1612, 20, 156, 1, 3, 22, 157, 158, 152, 159, 154, 160, 5dchrvmaeq0 21198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
162155, 161mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
163154, 162breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
164163rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
165164exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
166153, 165mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
167 seqex 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
169 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
170169fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
171 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
172170, 171oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
173 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
174172, 152, 173fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
175174adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
176138, 140, 142divcld 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
177175, 176eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
178114, 116, 177serf 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
179178ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
180 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
181 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
182 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
183181, 182, 176syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
184180, 183fsumcj 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
185181, 182, 175syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
186 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
187186, 114syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
188185, 187, 183fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
189188fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
190181, 182, 125syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
191176cjcld 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
192181, 182, 191syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
193190, 187, 192fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
194184, 189, 1933eqtr3rd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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