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Theorem dchrisumlem1 20565
Description: Lemma for dchrisum 20568. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
dchrisum.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrisum.10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R )
Distinct variable groups:    u, n, x    .1. , n, x    n, F, u, x    x, A   
n, N, u, x    ph, n, u, x    R, n, u, x    U, n, u, x    B, n   
n, Z, x    D, n, x    n, L, u, x    n, M, u, x    n, X, u, x
Allowed substitution hints:    A( u, n)    B( x, u)    D( u)    .1. (
u)    G( x, u, n)    Z( u)

Proof of Theorem dchrisumlem1
StepHypRef Expression
1 fzodisj 10831 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )  i^i  (
( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) )  =  (/)
21a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( (
0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )  i^i  (
( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) )  =  (/) )
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
54adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
6 nn0re 9906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NN0  ->  U  e.  RR )
76adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  U  e.  RR )
83adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
97, 8nndivred 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  /  N )  e.  RR )
108nnrpd 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR+ )
11 nn0ge0 9923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NN0  ->  0  <_  U )
1211adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  0  <_  U )
137, 10, 12divge0d 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( U  /  N ) )
14 flge0nn0 10879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  /  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( U  /  N ) )  -> 
( |_ `  ( U  /  N ) )  e.  NN0 )
159, 13, 14syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  NN0 )
165, 15nn0mulcld 9955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  e.  NN0 )
17 flle 10862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( U  /  N ) )  <_ 
( U  /  N
) )
189, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( |_ `  ( U  /  N
) )  <_  ( U  /  N ) )
19 reflcl 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( U  /  N ) )  e.  RR )
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  RR )
2120, 7, 10lemuldiv2d 10368 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  <_  U 
<->  ( |_ `  ( U  /  N ) )  <_  ( U  /  N ) ) )
2218, 21mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  <_  U )
23 fznn0 10782 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NN0  ->  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )  e.  ( 0 ... U )  <->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  e. 
NN0  /\  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  <_  U )
) )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  e.  ( 0 ... U
)  <->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  e. 
NN0  /\  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  <_  U )
) )
2516, 22, 24mpbir2and 893 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  e.  ( 0 ... U ) )
26 fzosplit 10830 . . . . . 6  |-  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )  e.  ( 0 ... U )  ->  (
0..^ U )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) ) )  u.  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ U )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) )  u.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ U
) ) )
28 fzofi 10967 . . . . . 6  |-  ( 0..^ U )  e.  Fin
2928a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ U )  e.  Fin )
30 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
31 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
32 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
33 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
34 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
3534ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ U ) )  ->  X  e.  D )
36 elfzoelz 10806 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0..^ U )  ->  n  e.  ZZ )
3736adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ U ) )  ->  n  e.  ZZ )
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 20411 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ U ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
392, 27, 29, 38fsumsplit 12142 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ U ) ( X `  ( L `  n )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
40 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  0 ) )
4140oveq2d 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) )
4241sumeq1d 12104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
4342eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 ) )
4443imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
45 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  m ) )
4645oveq2d 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) )
4746sumeq1d 12104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
4847eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 ) )
4948imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
50 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  ( m  +  1
) ) )
5150oveq2d 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )
5251sumeq1d 12104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
5352eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 ) )
5453imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
55 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )
5655oveq2d 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) )
5756sumeq1d 12104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
5857eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 ) )
5958imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
603nncnd 9695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6160mul01d 8944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
6261oveq2d 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( N  x.  0 ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
63 fzo0 10824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
6462, 63syl6eq 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( N  x.  0 ) )  =  (/) )
6564sumeq1d 12104 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `
 n ) ) )
66 sum0 12124 . . . . . . . . 9  |-  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `  n ) )  =  0
6765, 66syl6eq 2304 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )
68 oveq1 5764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  0  -> 
( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
69 fzodisj 10831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( N  x.  m ) )  i^i  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) )  =  (/)
7069a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
0..^ ( N  x.  m ) )  i^i  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) )  =  (/) )
71 nn0re 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
7271adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
7372lep1d 9621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
74 peano2re 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
763adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
7776nnred 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
7876nngt0d 9722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  0  <  N )
79 lemul2 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( m  <_  ( m  +  1 )  <->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  <_  ( m  +  1 )  <->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
8173, 80mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) )
82 nn0mulcl 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  x.  m
)  e.  NN0 )
834, 82sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  NN0 )
84 nn0uz 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8583, 84syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
86 nn0p1nn 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
87 nnmulcl 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( m  +  1
)  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( m  +  1
) )  e.  NN )
883, 86, 87syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
8988nnzd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )
90 elfz5 10721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  x.  m
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) )  <-> 
( N  x.  m
)  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
9185, 89, 90syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  ( m  +  1 ) ) )  <->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
9281, 91mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )
93 fzosplit 10830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  ->  (
0..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  m ) )  u.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) ) ) )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  m ) )  u.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) ) )
95 fzofi 10967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  e.  Fin
9695a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  e.  Fin )
9734ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )  ->  X  e.  D )
98 elfzoelz 10806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9998adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 20411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
10170, 94, 96, 100fsumsplit 12142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
10276nncnd 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
10372recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
104 ax-1cn 8728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
105104a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
106102, 103, 105adddid 8792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  m
)  +  ( N  x.  1 ) ) )
107102mulid1d 8785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
108107oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  m )  +  ( N  x.  1 ) )  =  ( ( N  x.  m )  +  N
) )
109106, 108eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  m
)  +  N ) )
110109oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) )
111110sumeq1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
11276nnnn0d 9950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
11383nn0zd 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  ZZ )
114113adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  ZZ )
115 nn0z 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
116 zaddcl 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  x.  m
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  m )  +  k )  e.  ZZ )
117113, 115, 116syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  e.  ZZ )
118 peano2zm 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  e.  ZZ )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  e.  ZZ )
12034ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )  ->  X  e.  D )
121 elfzelz 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
122121adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
12330, 31, 32, 33, 120, 122dchrzrhcl 20411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )  -> 
( X `  ( L `  n )
)  e.  CC )
124 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( i  +  ( N  x.  m
) )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )
125124fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( i  +  ( N  x.  m
) )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
126114, 114, 119, 123, 125fsumshftm 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m ) ... (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  sum_ i  e.  ( ( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m
) ) ... (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) ) ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
127 fzoval 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  m ) ... (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )
128117, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  m ) ... (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )
129128sumeq1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  - 
1 ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
130115adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
131 fzoval 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0..^ k )  =  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
0..^ k )  =  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
133114zcnd 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  CC )
134133subidd 9078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)  -  ( N  x.  m ) )  =  0 )
135117zcnd 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  e.  CC )
136104a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
137135, 136, 133sub32d 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) )  =  ( ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  -  ( N  x.  m ) )  - 
1 ) )
138 nn0cn 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
139138adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
140133, 139pncan2d 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  ( N  x.  m ) )  =  k )
141140oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  ( N  x.  m )
)  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
142137, 141eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) )  =  ( k  - 
1 ) )
143134, 142oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m )
) ... ( ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m
) ) )  =  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
144132, 143eqtr4d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
0..^ k )  =  ( ( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m
) ) ... (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) ) ) )
145144sumeq1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( ( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m
) ) ... (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) ) ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
146126, 129, 1453eqtr4d 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 ( i  +  ( N  x.  m
) ) ) ) )
1473nnzd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
148 nn0z 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
149 dvdsmul1 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  m ) )
150147, 148, 149syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  ||  ( N  x.  m )
)
151150ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  ->  N  ||  ( N  x.  m ) )
152 elfzoelz 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0..^ k )  ->  i  e.  ZZ )
153152adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
i  e.  ZZ )
154153zcnd 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
i  e.  CC )
155133adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( N  x.  m
)  e.  CC )
156154, 155pncan2d 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( ( i  +  ( N  x.  m
) )  -  i
)  =  ( N  x.  m ) )
157151, 156breqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  ->  N  ||  ( ( i  +  ( N  x.  m ) )  -  i ) )
158112ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  ->  N  e.  NN0 )
159 zaddcl 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( N  x.  m
)  e.  ZZ )  ->  ( i  +  ( N  x.  m
) )  e.  ZZ )
160152, 114, 159syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( i  +  ( N  x.  m ) )  e.  ZZ )
16131, 33zndvds 16430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( i  +  ( N  x.  m ) )  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( L `  i )  <-> 
N  ||  ( (
i  +  ( N  x.  m ) )  -  i ) ) )
162158, 160, 153, 161syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( L `  i )  <-> 
N  ||  ( (
i  +  ( N  x.  m ) )  -  i ) ) )
163157, 162mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( L `  (
i  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( L `
 i ) )
164163fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  ( X `
 ( L `  i ) ) )
165164sumeq2dv 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  i )
) )
166 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  n  ->  ( L `  i )  =  ( L `  n ) )
167166fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  n  ->  ( X `  ( L `  i ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
168167cbvsumv 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  i )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)
169165, 168syl6eq 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
) )
170146, 169eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
171170ralrimiva 2597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
172 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  N  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  =  ( ( N  x.  m )  +  N ) )
173172oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  N  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) )
174173sumeq1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  N  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
175 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  N  ->  (
0..^ k )  =  ( 0..^ N ) )
176175sumeq1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  N  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `  n )
) )
177174, 176eqeq12d 2270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  N  ->  ( sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) )  <->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  N
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
178177rcla4v 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
179112, 171, 178sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
180 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( L `  n )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( L `  n ) ) )
1813nnne0d 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
182 ifnefalse 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
184 fzofi 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
185183, 184syl6eqel 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  e.  Fin )
186 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
187 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
18833reseq1i 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Z
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
189 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
190186, 31, 187, 188, 189znf1o 16432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Z ) )
1914, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Z
) )
192 fvres 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  (
( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) `
 n )  =  ( L `  n
) )
193192adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  ->  ( ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) `  n )  =  ( L `  n ) )
19430, 31, 32, 187, 34dchrf 20408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
195 ffvelrn 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  k  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  k
)  e.  CC )
196194, 195sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  k )  e.  CC )
197180, 185, 191, 193, 196fsumf1o 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
Base `  Z )
( X `  k
)  =  sum_ n  e.  if  ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
198 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
19930, 31, 32, 198, 34, 187dchrsum 20435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
Base `  Z )
( X `  k
)  =  if ( X  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
200 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
201 ifnefalse 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =/=  .1.  ->  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  0 )
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  0 )
203199, 202eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
Base `  Z )
( X `  k
)  =  0 )
204183sumeq1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  if  ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
205197, 203, 2043eqtr3rd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )
206205adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )
207111, 179, 2063eqtrd 2292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )
208207oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
209 00id 8920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  0 )  =  0
210208, 209syl6req 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  0  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) ( X `  ( L `  n ) ) ) )
211101, 210eqeq12d 2270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  0  <->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) ) )
21268, 211syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 ) )
213212expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
214213a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
21544, 49, 54, 59, 67, 214nn0ind 10040 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( U  /  N ) )  e.  NN0  ->  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 ) )
216215impcom 421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 )
21715, 216syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )
218 modval 10906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( U  mod  N
)  =  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) )
2197, 10, 218syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  mod  N )  =  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) )
220219oveq2d 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  mod  N
) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ) )
22116nn0cnd 9952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  e.  CC )
222 nn0cn 9907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NN0  ->  U  e.  CC )
223222adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  U  e.  CC )
224221, 223pncan3d 9093 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) )  =  U )
225220, 224eqtr2d 2289 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  U  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) )
226225oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ U
)  =  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) )
227226sumeq1d 12104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
228 nn0z 9978 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NN0  ->  U  e.  ZZ )
229 zmodcl 10920 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( U  mod  N
)  e.  NN0 )
230228, 3, 229syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  mod  N )  e.  NN0 )
231171ralrimiva 2597 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
232231adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  A. m  e.  NN0  A. k  e. 
NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
233 oveq2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( N  x.  m )  =  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )
234233oveq1d 5772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k ) )
235233, 234oveq12d 5775 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k ) ) )
236235sumeq1d 12104 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
237236eqeq1d 2264 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) )  <->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
) ) )
238 oveq2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) )
239238oveq2d 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) )
240239sumeq1d 12104 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
241 oveq2 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( 0..^ k )  =  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )
242241sumeq1d 12104 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
243240, 242eqeq12d 2270 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)  <->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) ) )
244237, 243rcla42va 2842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  NN0  /\  ( U  mod  N
)  e.  NN0 )  /\  A. m  e.  NN0  A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  mod  N
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
24515, 230, 232, 244syl21anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  mod  N
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
246227, 245eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
247217, 246oveq12d 5775 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) ) )
248 fzofi 10967 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( U  mod  N
) )  e.  Fin
249248a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( U  mod  N
) )  e.  Fin )
25034ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )  ->  X  e.  D )
251 elfzoelz 10806 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) )  ->  n  e.  ZZ )
252251adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
25330, 31, 32, 33, 250, 252dchrzrhcl 20411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
254249, 253fsumcl 12136 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
)  e.  CC )
255254addid2d 8946 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
25639, 247, 2553eqtrd 2292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ U ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
257256fveq2d 5427 . 2  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) ) )
258 zmodfzo 10923 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( U  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
259228, 3, 258syl2anr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
260 dchrisum.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
261260adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  R
)
262 oveq2 5765 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  ( 0..^ u )  =  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )
263262sumeq1d 12104 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
264263fveq2d 5427 . . . . 5  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) ) )
265264breq1d 3973 . . . 4  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )  <_  R ) )
266265rcla4v 2831 . . 3  |-  ( ( U  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
) )
267259, 261, 266sylc 58 . 2  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )  <_  R )
268257, 267eqbrtrd 3983 1  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516    u. cun 3092    i^i cin 3093   (/)c0 3397   ifcif 3506   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    |` cres 4628   -->wf 4634   -1-1-onto->wf1o 4637   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Fincfn 6796   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   NNcn 9679   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   RR+crp 10286   ...cfz 10713  ..^cfzo 10801   |_cfl 10855    mod cmo 10904   abscabs 11649    ~~> r crli 11889   sum_csu 12088    || cdivides 12458   phicphi 12759   Basecbs 13075   ↾s cress 13076   0gc0g 13327  ℂfldccnfld 16304   ZRHomczrh 16378  ℤ/nczn 16381  DChrcdchr 20398
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  20566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-rp 10287  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-sum 12089  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-phi 12761  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-0g 13331  df-imas 13338  df-divs 13339  df-mnd 14294  df-mhm 14342  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-mulg 14419  df-subg 14545  df-nsg 14546  df-eqg 14547  df-ghm 14608  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-cring 15268  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-rnghom 15423  df-subrg 15470  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-sra 15852  df-rgmod 15853  df-lidl 15854  df-rsp 15855  df-2idl 15911  df-cnfld 16305  df-zrh 16382  df-zn 16385  df-dchr 20399
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