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Theorem dchrisumlem3 21138
Description: Lemma for dchrisum 21139. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
dchrisum.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrisum.10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem3  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    u, n, x, c, t    .1. , c    t, n,  .1. , x    u, c, F, n, t, x    A, c, t, x    N, c, n, t, u, x    ph, c, n, t, u, x    R, c, n, u, x    B, c, n    n, Z, x    D, c, n, t, x    L, c, n, t, u, x    M, c, n, u, x    X, c, n, t, u, x
Allowed substitution hints:    A( u, n)    B( x, u, t)    D( u)    R( t)    .1. ( u)    G( x, u, t, n, c)    M( t)    Z( u, t, c)

Proof of Theorem dchrisumlem3
Dummy variables  k  m  i  j  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
5 rpvmasum.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (DChr `  N )
6 rpvmasum.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 rpvmasum.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 rpvmasum.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
9 dchrisum.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
109adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  X  e.  D )
114nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ZZ )
125, 6, 7, 8, 10, 11dchrzrhcl 20982 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  i ) )  e.  CC )
13 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
15 nnrp 10577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
16 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
1716nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
18 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
1918eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
2017, 19rspc 3006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
2120impcom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  /\  i  e.  RR+ )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
2214, 15, 21syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
2322recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  CC )
2412, 23mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A )  e.  CC )
25 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
i
26 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( X `  ( L `  i )
)
27 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
2826, 27, 16nfov 6063 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( X `  ( L `  i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A )
29 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  ( L `  n )  =  ( L `  i ) )
3029fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  i )
) )
3130, 18oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  A )  =  ( ( X `
 ( L `  i ) )  x. 
[_ i  /  n ]_ A ) )
32 dchrisum.7 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
3325, 28, 31, 32fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( ( X `  ( L `  i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A )  e.  CC )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( X `  ( L `
 i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A ) )
344, 24, 33syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( ( X `  ( L `  i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A ) )
3534, 24eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  e.  CC )
361, 3, 35serf 11306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
3736ffvelrnda 5829 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  e.  CC )
3813recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
3938ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  CC )
4039adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  CC )
41 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR+ )
42 2re 10025 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
43 dchrisum.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
44 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
4542, 43, 44sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
46 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
47 lbfzo0 11125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
4846, 47sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
49 dchrisum.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
50 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  0  ->  (
0..^ u )  =  ( 0..^ 0 ) )
51 fzo0 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
5250, 51syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  0  ->  (
0..^ u )  =  (/) )
5352sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `  n ) ) )
54 sum0 12470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `  n ) )  =  0
5553, 54syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )
5655abs00bd 12051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  0  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  0 )
5756breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  0  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5857rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R  ->  0  <_  R ) )
5948, 49, 58sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
60 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
6160nn0ge0i 10205 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
62 mulge0 9501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  R ) )
6342, 61, 62mpanl12 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  ( 2  x.  R ) )
6443, 59, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  R ) )
6545, 64ge0p1rpd 10630 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  +  1 )  e.  RR+ )
66 rpdivcl 10590 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  R
)  +  1 )  e.  RR+ )  ->  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6741, 65, 66syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  e.  RR+ )
68 dchrisum.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
6968adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
7040, 67, 69rlimi 12262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. m  e.  RR  A. n  e.  RR+  ( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) )
71 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
72 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7372nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
75 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
7671, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
77 0re 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
7972nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  M )
8079adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  0  < 
M )
81 max1 10729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
8273, 81sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
8378, 74, 76, 80, 82ltletrd 9186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  0  < 
if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
8476, 83elrpd 10602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+ )
8584adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+ )
86 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
87 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n abs
88 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
89 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  -
90 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
0
9188, 89, 90nfov 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
)
9287, 91nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )
93 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <
94 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) )
9592, 93, 94nfbr 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )
9686, 95nfim 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )
97 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  (
m  <_  n  <->  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) )
98 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  A  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
9998oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( A  -  0 )  =  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )
10099fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( A  - 
0 ) )  =  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) ) )
101100breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  (
( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  - 
0 ) )  < 
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) ) ) )
10297, 101imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  (
( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  <-> 
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) ) )
10396, 102rspc 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  ( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  - 
0 ) )  < 
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) ) )  ->  (
m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )  <  ( e  / 
( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) ) )
10485, 103syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  RR+  (
m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  / 
( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  -> 
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) ) )
10573ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
106 max2 10731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
107105, 106sylancom 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
10814ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
10988nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR
11098eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR ) )
111109, 110rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR ) )
11285, 108, 111sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR )
113112recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  CC )
114113subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
)  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)
115114fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )  =  ( abs `  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
) )
11676adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
117105, 81sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
118 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  /\  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
119105, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  /\  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
120116, 117, 119mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo ) )
12146ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  N  e.  NN )
122 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
1239ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  X  e.  D )
124 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
125124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  X  =/=  .1.  )
126 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
12772ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
128108r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
129 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ph )
130 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
131129, 130syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
13268ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
1336, 8, 121, 5, 7, 122, 123, 125, 126, 127, 128, 131, 132, 32dchrisumlema 21135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
) ) )
134133simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A ) )
135120, 134mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
136112, 135absidd 12180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( abs `  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
137115, 136eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
138137breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  <->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) )
139 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
140139ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  e  e.  RR )
14165ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  +  1 )  e.  RR+ )
142112, 140, 141ltmuldiv2d 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  <->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  < 
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) ) ) )
143138, 142bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
14445ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
2  x.  R )  e.  RR )
145141rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  +  1 )  e.  RR )
146144lep1d 9898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
2  x.  R )  <_  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )
147144, 145, 112, 135, 146lemul1ad 9906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <_  ( (
( 2  x.  R
)  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A ) )
148144, 112remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR )
149145, 112remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR )
150 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <_  ( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  /\  (
( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )  ->  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
151148, 149, 140, 150syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <_  (
( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  /\  ( (
( 2  x.  R
)  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e )  -> 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
152147, 151mpand 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  ->  ( ( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
153143, 152sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e
) )
154 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
15672adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
157156nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  1  <_  M )
158155, 74, 76, 157, 82letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  1  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
159 flge1nn 11181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  /\  1  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  -> 
( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
16076, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( |_
`  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
161160adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
16246ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
1639ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  X  e.  D )
164124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
16572ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
16613adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
167166adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
1681303adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
1691683adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
17068ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
17143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
17249ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  R
)
17384adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+ )
17482adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
17576adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
176 fllep1 11165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  <_  ( ( |_
`  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  +  1 ) )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  <_  (
( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  +  1 ) )
178160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
179 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
1806, 8, 162, 5, 7, 122, 163, 164, 126, 165, 167, 169, 170, 32, 171, 172, 173, 174, 177, 178, 179dchrisumlem2 21137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <_  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
) )
181180adantllr 700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <_  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A ) )
18236ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
1831uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) )  -> 
k  e.  NN )
184161, 183sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
185182, 184ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
186161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
187182, 186ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) )  e.  CC )
188185, 187subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  e.  CC )
189188abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  e.  RR )
190148adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR )
191140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
e  e.  RR )
192 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <_  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  /\  ( (
2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
193189, 190, 191, 192syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <_  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  /\  ( (
2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
194181, 193mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
195194ralrimdva 2756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <  e
) )
196 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
197 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
198197oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )
199198fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  =  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) ) )
200199breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
201196, 200raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <  e
) )
202201rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <  e
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )  <  e )
203161, 195, 202ee12an 1369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
204153, 203syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
205107, 204embantd 52 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )  <  e ) )
206104, 205syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  RR+  (
m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  / 
( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
207206rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  RR  A. n  e.  RR+  ( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
20870, 207mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )  <  e )
209208ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
)
210 seqex 11280 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
211210a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
2121, 37, 209, 211caucvg 12427 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
213210eldm 5026 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  E. t  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )
214212, 213sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )
215 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )
216 elrege0 10963 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  R )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
2  x.  R )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  R
) ) )
21745, 64, 216sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
218217adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  -> 
( 2  x.  R
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
219 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )  =  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )
220 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
221 icossre 10947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( M [,)  +oo )  C_  RR )
22273, 220, 221sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M [,)  +oo )  C_  RR )
223222sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR )
224223adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR )
225224flcld 11162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  m )  e.  ZZ )
226 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )
22736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  F
) : NN --> CC )
228154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  1  e.  RR )
22973ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
23072ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  NN )
231230nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  1  <_  M )
232 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  (
m  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  M  <_  m ) ) )
23373, 232syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  M  <_  m ) ) )
234233simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  m )
235234adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  m )
236228, 229, 224, 231, 235letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  1  <_  m )
237 flge1nn 11181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  1  <_  m )  -> 
( |_ `  m
)  e.  NN )
238224, 236, 237syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  m )  e.  NN )
239227, 238ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  e.  CC )
240 nnex 9962 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
241240mptex 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) )  e. 
_V
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )
) )  e.  _V )
243227adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
2441uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  m
)  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  i  e.  NN )
245238, 244sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  i  e.  NN )
246243, 245ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  i )  e.  CC )
247 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) )
248247oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
249 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
250 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) )  e.  _V
251248, 249, 250fvmpt3i 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) `
 i )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
252245, 251syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) `  i )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
253219, 225, 226, 239, 242, 246, 252climsubc2 12387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )
) )  ~~>  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )
254240mptex 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  e.  _V
255254a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  e.  _V )
256 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  e.  _V
257256fvconst2 5906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) ) )
258245, 257syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) )
259258oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( ( NN  X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
260252, 259eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) `  i )  =  ( ( ( NN  X.  { (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  i )
) )
261239adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  e.  CC )
262258, 261eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i
)  e.  CC )
263262, 246subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( ( NN  X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) )  e.  CC )
264260, 263eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) `  i )  e.  CC )
265248fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )
) )  =  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) ) ) )
266 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )
267 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )  e.  _V
268265, 266, 267fvmpt3i 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) `
 i )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) ) )
269245, 268syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) ) )
270252fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) `
 i ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) ) )
271269, 270eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) `
 i ) ) )
272219, 253, 255, 225, 264, 271climabs 12352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  ~~>  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t ) ) )
27345ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( 2  x.  R )  e.  RR )
27477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  e.  RR )
27573adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
27679adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  M )
277274, 275, 223, 276, 234ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  m )
278223, 277elrpd 10602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR+ )
279 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
280279nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  e.  RR
281 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
282281eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR ) )
283280, 282rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR ) )
28414, 283mpan9 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR )
285278, 284syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR )
286285adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR )
287273, 286remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( (
2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
288287recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( (
2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A )  e.  CC )
2891eqimss2i 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
290289, 240climconst2 12297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) } )  ~~>  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) )
291288, 2, 290sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( NN  X.  { ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ m  /  n ]_ A ) } )  ~~>  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
292261, 246subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  i )
)  e.  CC )
293292abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )  e.  RR )
294269, 293eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  e.  RR )
295 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A )  e. 
_V
296295fvconst2 5906 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) } ) `  i )  =  ( ( 2  x.  R
)  x.  [_ m  /  n ]_ A ) )
297245, 296syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) } ) `  i )  =  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ m  /  n ]_ A ) )
298287adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
299297, 298eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) } ) `  i )  e.  RR )
300 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ph )
301300, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  N  e.  NN )
302300, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  X  e.  D
)
303300, 124syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
304230adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  M  e.  NN )
305300, 13sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
306300, 130syl3an1 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x
) )  ->  B  <_  A )
307300, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
308300, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  R  e.  RR )
309300, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
310278adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR+ )
311310adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
312235adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  M  <_  m
)
313224adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  e.  RR )
314 reflcl 11160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  ( |_ `  m )  e.  RR )
315 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  m )  e.  RR  ->  (
( |_ `  m
)  +  1 )  e.  RR )
316313, 314, 3153syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( |_
`  m )  +  1 )  e.  RR )
317 flltp1 11164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  m  <  ( ( |_ `  m )  +  1 ) )
318313, 317syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  <  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
319313, 316, 318ltled 9177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
320238adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( |_ `  m )  e.  NN )
321 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
3226, 8, 301, 5, 7, 122, 302, 303, 126, 304, 305, 306, 307, 32, 308, 309, 311, 312, 319, 320, 321dchrisumlem2 21137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
323261, 246abssubd 12210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) ) ) )
324269, 323eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) ) ) )
325322, 324, 2973brtr4d 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  <_  ( ( NN 
X.  { ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) } ) `  i ) )
326219, 225, 272, 291, 294, 299, 325climle 12388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
327326ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  A. m  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
328 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  (
c  x.  B )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  B ) )
329328breq2d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) ) )
330329ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  ( A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
)  <->  A. x  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) ) )
331 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  x  ->  ( |_ `  m )  =  ( |_ `  x
) )
332331fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
333332oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )
334333fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
335 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  x  ->  m  e.  _V )
337 equequ2 1694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  x  ->  (
n  =  m  <->  n  =  x ) )
338337biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  x  /\  n  =  m )  ->  n  =  x )
339338, 126syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  x  /\  n  =  m )  ->  A  =  B )
340336, 339csbied 3253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  x  ->  [_ m  /  n ]_ A  =  B )
341340oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  x  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ m  /  n ]_ A )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  B ) )
342334, 341breq12d 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) ) )
343342cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
)  <->  A. x  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) )
344330, 343syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  ( A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
)  <->  A. m  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) ) )
345344rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. m  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )  ->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. x  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) )
346218, 327, 345syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) )
347 r19.42v 2822 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
348215, 346, 347sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
349348ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  ->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
350349eximdv 1629 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
351214, 350mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   [_csb 3211    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874  ..^cfzo 11090   |_cfl 11156    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233    ~~> r crli 12234   sum_csu 12434   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrisum  21139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-phi 13110  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-dchr 20970
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