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Theorem dchrisumlema 21135
Description: Lemma for dchrisum 21139. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3243 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2550 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3219 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 3006 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 28 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 10956 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 11162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10334 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
20 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
21 nnrp 10577 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2221ssriv 3312 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
23 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
241, 23fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR )
25 fdm 5554 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  RR+ )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2722, 26syl5sseqr 3357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2817, 19, 20, 27rlimclim1 12294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
30 0re 9047 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  e.  RR )
3211adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
3310nngt0d 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3433adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  M )
3513simplbda 608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  I )
3631, 32, 14, 34, 35ltletrd 9186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  I )
3714, 36elrpd 10602 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
382adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3937, 38, 7sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
4039recnd 9070 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
41 ssid 3327 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
42 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
4341, 42climconst2 12297 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4440, 16, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4537rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <_  I )
46 flge0nn0 11180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4714, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
48 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
5017uztrn2 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
5149, 50sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
5251nnrpd 10603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
532ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
54 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5554nfel1 2550 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
56 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5756eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5855, 57rspc 3006 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5952, 53, 58sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
6023fvmpts 5766 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
6152, 59, 60syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
6261, 59eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
63 fvconst2g 5904 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6439, 63sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6539adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6664, 65eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6737adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
68 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
69683expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
7069ralrimivva 2758 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
7170ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
72 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
73 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
74 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
75 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7674, 75, 3nfbr 4216 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7773, 76nfim 1828 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7872, 77nfral 2719 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
79 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
80 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
8179, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
825breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8381, 82imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8483ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8578, 84rspc 3006 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8667, 71, 85sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8735adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8814adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
89 reflcl 11160 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
90 peano2re 9195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
9188, 89, 903syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
9251nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
93 fllep1 11165 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9414, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9594adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
96 eluzle 10454 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9796adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9888, 91, 92, 95, 97letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9987, 98jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
100 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
101100anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
102 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
_V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
104 equtr2 1696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
105 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
106105equcoms 1689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
107104, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
108103, 107csbied 3253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
109108eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
110109breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
111101, 110imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
112111rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
11352, 86, 99, 112syl3c 59 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
114113, 61, 643brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1159, 16, 29, 44, 62, 66, 114climle 12388 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
116115ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1178, 116jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874   |_cfl 11156    ~~> cli 12233    ~~> r crli 12234   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
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