Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlema Unicode version

Theorem dchrisumlema 21135
 Description: Lemma for dchrisum 21139. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4
21ralrimiva 2749 . . 3
3 nfcsb1v 3243 . . . . 5
43nfel1 2550 . . . 4
5 csbeq1a 3219 . . . . 5
65eleq1d 2470 . . . 4
74, 6rspc 3006 . . 3
82, 7syl5com 28 . 2
9 eqid 2404 . . . 4
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9
1110nnred 9971 . . . . . . . 8
12 elicopnf 10956 . . . . . . . 8
1311, 12syl 16 . . . . . . 7
1413simprbda 607 . . . . . 6
1514flcld 11162 . . . . 5
1615peano2zd 10334 . . . 4
17 nnuz 10477 . . . . . 6
18 1z 10267 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
20 dchrisum.6 . . . . . 6
21 nnrp 10577 . . . . . . . 8
2221ssriv 3312 . . . . . . 7
23 eqid 2404 . . . . . . . . 9
241, 23fmptd 5852 . . . . . . . 8
25 fdm 5554 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
2722, 26syl5sseqr 3357 . . . . . 6
2817, 19, 20, 27rlimclim1 12294 . . . . 5
2928adantr 452 . . . 4
30 0re 9047 . . . . . . . . . 10
3130a1i 11 . . . . . . . . 9
3211adantr 452 . . . . . . . . 9
3310nngt0d 9999 . . . . . . . . . 10
3433adantr 452 . . . . . . . . 9
3513simplbda 608 . . . . . . . . 9
3631, 32, 14, 34, 35ltletrd 9186 . . . . . . . 8
3714, 36elrpd 10602 . . . . . . 7
382adantr 452 . . . . . . 7
3937, 38, 7sylc 58 . . . . . 6
4039recnd 9070 . . . . 5
41 ssid 3327 . . . . . 6
42 fvex 5701 . . . . . 6
4341, 42climconst2 12297 . . . . 5
4440, 16, 43syl2anc 643 . . . 4
4537rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10
46 flge0nn0 11180 . . . . . . . . . 10
4714, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . 9
48 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5017uztrn2 10459 . . . . . . . 8
5149, 50sylan 458 . . . . . . 7
5251nnrpd 10603 . . . . . 6
532ad2antrr 707 . . . . . . 7
54 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9
5554nfel1 2550 . . . . . . . 8
56 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9
5756eleq1d 2470 . . . . . . . 8
5855, 57rspc 3006 . . . . . . 7
5952, 53, 58sylc 58 . . . . . 6
6023fvmpts 5766 . . . . . 6
6152, 59, 60syl2anc 643 . . . . 5
6261, 59eqeltrd 2478 . . . 4
63 fvconst2g 5904 . . . . . 6
6439, 63sylan 458 . . . . 5
6539adantr 452 . . . . 5
6664, 65eqeltrd 2478 . . . 4
6737adantr 452 . . . . . . 7
68 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10
69683expia 1155 . . . . . . . . 9
7069ralrimivva 2758 . . . . . . . 8
7170ad2antrr 707 . . . . . . 7
72 nfcv 2540 . . . . . . . . 9
73 nfv 1626 . . . . . . . . . 10
74 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
75 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
7674, 75, 3nfbr 4216 . . . . . . . . . 10
7773, 76nfim 1828 . . . . . . . . 9
7872, 77nfral 2719 . . . . . . . 8
79 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11
80 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11
8179, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
825breq2d 4184 . . . . . . . . . 10
8381, 82imbi12d 312 . . . . . . . . 9
8483ralbidv 2686 . . . . . . . 8
8578, 84rspc 3006 . . . . . . 7
8667, 71, 85sylc 58 . . . . . 6
8735adantr 452 . . . . . . 7
8814adantr 452 . . . . . . . 8
89 reflcl 11160 . . . . . . . . 9
90 peano2re 9195 . . . . . . . . 9
9188, 89, 903syl 19 . . . . . . . 8
9251nnred 9971 . . . . . . . 8
93 fllep1 11165 . . . . . . . . . 10
9414, 93syl 16 . . . . . . . . 9
9594adantr 452 . . . . . . . 8
96 eluzle 10454 . . . . . . . . 9
9796adantl 453 . . . . . . . 8
9888, 91, 92, 95, 97letrd 9183 . . . . . . 7
9987, 98jca 519 . . . . . 6
100 breq2 4176 . . . . . . . . 9
101100anbi2d 685 . . . . . . . 8
102 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11
104 equtr2 1696 . . . . . . . . . . . 12
105 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13
106105equcoms 1689 . . . . . . . . . . . 12
107104, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11
108103, 107csbied 3253 . . . . . . . . . 10
109108eqcomd 2409 . . . . . . . . 9
110109breq1d 4182 . . . . . . . 8
111101, 110imbi12d 312 . . . . . . 7
112111rspcv 3008 . . . . . 6
11352, 86, 99, 112syl3c 59 . . . . 5
114113, 61, 643brtr4d 4202 . . . 4
1159, 16, 29, 44, 62, 66, 114climle 12388 . . 3
116115ex 424 . 2
1178, 116jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  cvv 2916  csb 3211  csn 3774   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cxp 4835   cdm 4837  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cpnf 9073   clt 9076   cle 9077  cn 9956  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  crp 10568  cico 10874  cfl 11156   cli 12233   crli 12234  cbs 13424  c0g 13678  RHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969 This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
 Copyright terms: Public domain W3C validator