MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumn0 Unicode version

Theorem dchrisumn0 20666
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 20639 and dchrvmasumif 20648. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumn0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, C   
y, F    y, a    y, N    y, T    y, Z    y, D    L, a,
y    X, a, y
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
Allowed substitution groups:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrisumn0
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
5 dchrmusum.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrmusum.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 dchrmusum.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
8 eqid 2286 . . . 4  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 dchrmusum.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
10 dchrmusum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
11 dchrmusum.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
12 dchrmusum.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
13 dchrmusum.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
14 dchrmusum.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
151, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8dchrvmaeq0 20649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
y  e.  ( D 
\  {  .1.  }
)  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  <->  T  =  0
) )
1615biimpar 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  X  e.  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16dchrisum0 20665 . . 3  |-  -.  ( ph  /\  T  =  0 )
1817imnani 414 . 2  |-  ( ph  ->  -.  T  =  0 )
19 df-ne 2451 . 2  |-  ( T  =/=  0  <->  -.  T  =  0 )
2018, 19sylibr 205 1  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   A.wral 2546   {crab 2550    \ cdif 3152   {csn 3643   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   0cc0 8734   1c1 8735    + caddc 8737    +oocpnf 8861    <_ cle 8865    - cmin 9034    / cdiv 9420   NNcn 9743   [,)cico 10654   |_cfl 10920    seq cseq 11042   abscabs 11715    ~~> cli 11954   sum_csu 12154   Basecbs 13144   0gc0g 13396   ZRHomczrh 16447  ℤ/nczn 16450  DChrcdchr 20467
This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  20667  dchrvmasumlem  20668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-disj 3997  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-tpos 6197  df-rpss 6240  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-ec 6659  df-qs 6663  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-word 11405  df-concat 11406  df-s1 11407  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-o1 11960  df-lo1 11961  df-sum 12155  df-ef 12345  df-e 12346  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-prm 12755  df-numer 12802  df-denom 12803  df-phi 12830  df-pc 12886  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-divs 13408  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-nsg 14615  df-eqg 14616  df-ghm 14677  df-gim 14719  df-ga 14740  df-cntz 14789  df-oppg 14815  df-od 14840  df-gex 14841  df-pgp 14842  df-lsm 14943  df-pj1 14944  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-cyg 15161  df-dprd 15229  df-dpj 15230  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-rnghom 15492  df-drng 15510  df-subrg 15539  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-sra 15921  df-rgmod 15922  df-lidl 15923  df-rsp 15924  df-2idl 15980  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-zrh 16451  df-zn 16454  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-cmp 17110  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-0p 19021  df-limc 19212  df-dv 19213  df-ply 19566  df-idp 19567  df-coe 19568  df-dgr 19569  df-quot 19667  df-log 19910  df-cxp 19911  df-em 20283  df-cht 20330  df-vma 20331  df-chp 20332  df-ppi 20333  df-mu 20334  df-dchr 20468
  Copyright terms: Public domain W3C validator