MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusum Unicode version

Theorem dchrmusum 20669
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, N, x    ph, n, x    n, Z, x    D, n, x    n, L, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    G( x, n)

Proof of Theorem dchrmusum
Dummy variables  y 
c  t  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 dchrmusum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 dchrmusum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 dchrmusum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrmusum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrmusum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 eqid 2284 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dchrmusumlema 20638 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) )
113adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
127adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  D )
138adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
14 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
15 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t )
16 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )
171, 2, 11, 4, 5, 6, 12, 13, 9, 14, 15, 16dchrmusumlem 20667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
1817expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1918rexlimdva 2668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
2019exlimdv 1665 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
2110, 20mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    +oocpnf 8860    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   RR+crp 10350   [,)cico 10654   ...cfz 10778   |_cfl 10920    seq cseq 11042   abscabs 11715    ~~> cli 11954   O (
1 )co1 11956   sum_csu 12154   Basecbs 13144   0gc0g 13396   ZRHomczrh 16447  ℤ/nczn 16450   mmucmu 20328  DChrcdchr 20467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-rpss 6239  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ec 6658  df-qs 6662  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-word 11405  df-concat 11406  df-s1 11407  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-o1 11960  df-lo1 11961  df-sum 12155  df-ef 12345  df-e 12346  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-prm 12755  df-numer 12802  df-denom 12803  df-phi 12830  df-pc 12886  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-divs 13408  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-nsg 14615  df-eqg 14616  df-ghm 14677  df-gim 14719  df-ga 14740  df-cntz 14789  df-oppg 14815  df-od 14840  df-gex 14841  df-pgp 14842  df-lsm 14943  df-pj1 14944  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-cyg 15161  df-dprd 15229  df-dpj 15230  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-rnghom 15492  df-drng 15510  df-subrg 15539  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-sra 15921  df-rgmod 15922  df-lidl 15923  df-rsp 15924  df-2idl 15980  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-zrh 16451  df-zn 16454  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-cmp 17110  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-0p 19021  df-limc 19212  df-dv 19213  df-ply 19566  df-idp 19567  df-coe 19568  df-dgr 19569  df-quot 19667  df-log 19910  df-cxp 19911  df-em 20283  df-cht 20330  df-vma 20331  df-chp 20332  df-ppi 20333  df-mu 20334  df-dchr 20468
  Copyright terms: Public domain W3C validator