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Theorem dchrmusum2 20645
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded, provided that  T  =/=  0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisumn0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisumn0.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrisumn0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .1.    x, d, y, C    F, d, x, y    a,
d, x, y    x, N, y    ph, d, x    T, d, x, y    x, Z, y    x, D, y    L, a, d, x, y    X, a, d, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    T( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, a, d)    N( a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10366 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 8797 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 12095 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
41, 2, 3mp2an 653 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
54a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
62a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
7 fzfid 11037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
9 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
10 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1312ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
14 elfzelz 10800 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  ZZ )
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 20486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
17 elfznn 10821 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
1817adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
19 mucl 20381 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2019zred 10119 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
21 nndivre 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
2220, 21mpancom 650 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
2318, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
2423recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
2516, 24mulcld 8857 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
267, 25fsumcl 12208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  e.  CC )
27 dchrisumn0.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
28 climcl 11975 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2927, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3029adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
3126, 30mulcld 8857 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )
321a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 subcl 9053 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
342, 31, 33sylancr 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
35 1re 8839 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3635a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
37 dchrisumn0.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
38 elrege0 10748 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
3937, 38sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
4039simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
41 fzfid 11037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
4225adantlrr 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
43 nnuz 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
44 1z 10055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4612adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
47 nnz 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
498, 9, 10, 11, 46, 48dchrzrhcl 20486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
50 nncn 9756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
52 nnne0 9780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
5449, 51, 53divcld 9538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
55 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
56 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5756fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
58 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5957, 58oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
6059cbvmptv 4113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
6155, 60eqtri 2305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
6254, 61fmptd 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
63 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
6462, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
6543, 45, 64serf 11076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
67 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
6867rpred 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
69 nndivre 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
7068, 17, 69syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  RR )
7117adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
7271nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
7372mulid2d 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
74 fznnfl 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
7568, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
7675simplbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x
)
7773, 76eqbrtrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x
)
7835a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7968adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
8071nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
8178, 79, 80lemuldivd 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  x.  d )  <_  x 
<->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
8277, 81mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  (
x  /  d ) )
83 flge1nn 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  /  d
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  / 
d ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  d ) )  e.  NN )
8470, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  NN )
85 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  ( |_ `  ( x  / 
d ) )  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  e.  CC )
8666, 84, 85syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  e.  CC )
8742, 86mulcld 8857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  e.  CC )
8829ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
8942, 88mulcld 8857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
)  e.  CC )
9041, 87, 89fsumsub 12252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
9142, 86, 88subdid 9237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )
9291sumeq2dv 12178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )
9312ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
9414ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
95 elfzelz 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9695adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
978, 9, 10, 11, 93, 94, 96dchrzrhmul 20487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
9897oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
9916adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
10172adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
1028, 9, 10, 11, 93, 96dchrzrhcl 20486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
103 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
104103adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
105104nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10671nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  =/=  0
)
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
108104nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
109100, 101, 102, 105, 107, 108divmuldivd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
11098, 109eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
111110oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
11271, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
113112zcnd 10120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
115100, 101, 107divcld 9538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
116102, 105, 108divcld 9538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
117114, 115, 116mulassd 8860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
118114, 100, 101, 107div12d 9574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d ) )  =  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
119118oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
120111, 117, 1193eqtr2d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
121120sumeq2dv 12178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
122 fzfid 11037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  e.  Fin )
123 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ph )
124123, 103, 54syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
125122, 42, 124fsummulc2 12248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
126 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
12759, 55, 126fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
128104, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
12984, 43syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
130128, 129, 124fsumser 12205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
131130oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
132121, 125, 1313eqtr2rd 2324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
133132sumeq2dv 12178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
134 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
135134fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
136 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
137135, 136oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
138137oveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
139 ssrab2 3260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  NN
140139sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ->  d  e.  NN )
141140ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  NN )
142141, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  ZZ )
143142zcnd 10120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  CC )
14412ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
145 elfzelz 10800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
146145adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1478, 9, 10, 11, 144, 146dchrzrhcl 20486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  e.  CC )
14817ssriv 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
149148a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) ) 
C_  NN )
150149sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
151150nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
152150nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
153147, 151, 152divcld 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
154153adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
155143, 154mulcld 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) )  e.  CC )
156138, 68, 155dvdsflsumcom 20430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
157 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
158157fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
159 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
160158, 159oveq12d 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
161 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
162 flge1nn 10951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
16368, 161, 162syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
164163, 43syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
165 eluzfz1 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
167160, 41, 149, 166, 153musumsum 20434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 1 ) )  /  1 ) )
168133, 156, 1673eqtr2d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
1698, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 20485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
171170oveq1d 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
1722div1i 9490 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
173171, 172syl6eq 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
174168, 173eqtr2d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
17529adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  e.  CC )
17641, 175, 42fsummulc1 12249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) )
177174, 176oveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
17890, 92, 1773eqtr4rd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )
179178fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  =  ( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) ) )
18086, 88subcld 9159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T )  e.  CC )
18142, 180mulcld 8857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  e.  CC )
18241, 181fsumcl 12208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  e.  CC )
183182abscld 11920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
184181abscld 11920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18541, 184fsumrecl 12209 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18640adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  RR )
18741, 181fsumabs 12261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) ) )
188 reflcl 10930 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
18968, 188syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  RR )
190189, 186remulcld 8865 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  e.  RR )
191190, 67rerpdivcld 10419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  e.  RR )
192186, 67rerpdivcld 10419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  RR )
193192adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  RR )
19442abscld 11920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  e.  RR )
19571nnrecred 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  RR )
196180abscld 11920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  e.  RR )
19780rpred 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR )
198193, 197remulcld 8865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  RR )
19942absge0d 11928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) ) )
200180absge0d 11928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )
20199abscld 11920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  e.  RR )
20224adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  CC )
203202abscld 11920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  e.  RR )
20499absge0d 11928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) ) )
205202absge0d 11928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
206 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
20712ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
208 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
209208nnnn0d 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2109, 206, 11znzrhfo 16503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
211 fof 5453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
212209, 210, 2113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
213212adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
214 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( L `  d )  e.  ( Base `  Z
) )
215213, 14, 214syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  d )  e.  (
Base `  Z )
)
2168, 10, 9, 206, 207, 215dchrabs2 20503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  <_  1 )
217113, 72, 106absdivd 11939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
( abs `  d
) ) )
21880rprege0d 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
219 absid 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )  -> 
( abs `  d
)  =  d )
220218, 219syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  d
)  =  d )
221220oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  ( abs `  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
) )
222217, 221eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
d ) )
223113abscld 11920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  e.  RR )
224 mule1 20388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  d ) )  <_ 
1 )
22571, 224syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  <_  1 )
226223, 78, 80, 225lediv1dd 10446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
)  <_  ( 1  /  d ) )
227222, 226eqbrtrd 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  <_  ( 1  /  d ) )
228201, 78, 203, 195, 204, 205, 216, 227lemul12ad 9701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  d )
) )  x.  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
1  /  d ) ) )
22999, 202absmuld 11938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `
 ( L `  d ) ) )  x.  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) ) ) )
230195recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  CC )
231230mulid2d 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( 1  /  d ) )
232231eqcomd 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  =  ( 1  x.  ( 1  /  d ) ) )
233228, 229, 2323brtr4d 4055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  <_  ( 1  /  d ) )
234 elicopnf 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
) ) ) )
23535, 234ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
) ) )
23670, 82, 235sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
237 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
238237ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
239 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  d ) ) )
240239fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
241240oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )
242241fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )
243 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  /  y )  =  ( C  /  (
x  /  d ) ) )
244242, 243breq12d 4038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) ) )
245244rspcv 2882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) ) )
246236, 238, 245sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) )
247186recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  CC )
248247adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
249 rpcnne0 10373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
250249ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
251250adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
252 divdiv2 9474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( C  /  (
x  /  d ) )  =  ( ( C  x.  d )  /  x ) )
253248, 251, 72, 106, 252syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  x.  d
)  /  x ) )
254 div23 9445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
255248, 72, 251, 254syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
256253, 255eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
257246, 256breqtrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( ( C  /  x )  x.  d
) )
258194, 195, 196, 198, 199, 200, 233, 257lemul12ad 9701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  x.  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )  <_  ( ( 1  /  d )  x.  ( ( C  /  x )  x.  d
) ) )
25942, 180absmuld 11938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) ) )
260192recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  CC )
261260adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  CC )
262261, 72, 106divcan4d 9544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( C  /  x ) )
263261, 72mulcld 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  CC )
264263, 72, 106divrec2d 9542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
265262, 264eqtr3d 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
266258, 259, 2653brtr4d 4055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( C  /  x ) )
26741, 184, 193, 266fsumle 12259 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
) )
268163nnnn0d 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
269 hashfz1 11347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
270268, 269syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
271270oveq1d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) )  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
272 fsumconst 12254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  ( C  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( C  /  x
) ) )
27341, 260, 272syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) ) )
274163nncnd 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  CC )
275 divass 9444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( C  /  x ) ) )
276274, 247, 250, 275syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
277271, 273, 2763eqtr4d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x ) )
278267, 277breqtrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( (
( |_ `  x
)  x.  C )  /  x ) )
27939adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
280 flle 10933 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
28168, 280syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  <_  x )
282 lemul1a 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  ( |_ `  x )  <_  x
)  ->  ( ( |_ `  x )  x.  C )  <_  (
x  x.  C ) )
283189, 68, 279, 281, 282syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  <_  ( x  x.  C ) )
284190, 186, 67ledivmuld 10441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  <_  C  <->  ( ( |_ `  x
)  x.  C )  <_  ( x  x.  C ) ) )
285283, 284mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  <_  C )
286185, 191, 186, 278, 285letrd 8975 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
287183, 185, 186, 187, 286letrd 8975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
288179, 287eqbrtrd 4045 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  <_  C )
28932, 34, 36, 40, 288elo1d 12012 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  e.  O ( 1 ) )
2906, 31, 289o1dif 12105 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) ) )
2915, 290mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   {crab 2549    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   -->wf 5253   -onto->wfo 5255   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Fincfn 6865   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    +oocpnf 8866    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   NNcn 9748   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   [,)cico 10660   ...cfz 10784   |_cfl 10926    seq cseq 11048   #chash 11339   abscabs 11721    ~~> cli 11960   O (
1 )co1 11962   sum_csu 12160    || cdivides 12533   Basecbs 13150   0gc0g 13402   ZRHomczrh 16453  ℤ/nczn 16456   mmucmu 20334  DChrcdchr 20473
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  20653  dchrmusumlem  20673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-o1 11966  df-lo1 11967  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-divs 13414  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-nsg 14621  df-eqg 14622  df-ghm 14683  df-cntz 14795  df-od 14846  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-rnghom 15498  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-lidl 15929  df-rsp 15930  df-2idl 15986  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-zrh 16457  df-zn 16460  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917  df-mu 20340  df-dchr 20474
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