MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Unicode version

Theorem dchrmusumlem 20666
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    T, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 11030 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 10793 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
98adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 20479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
11 elfznn 10814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1211adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 mucl 20374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1514zred 10113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1615, 12nndivred 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
1716recnd 8857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1810, 17mulcld 8851 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  CC )
191, 18fsumcl 12201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  CC )
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
21 climcl 11968 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2322adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
2419, 23mulcld 8851 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  T
)  e.  CC )
25 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
28 dchrmusum.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
29 dchrmusum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 20665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
3231adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  =/=  0 )
3324, 23, 32divrecd 9535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )
3419, 23, 32divcan4d 9538 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3533, 34eqtr3d 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3635mpteq2dva 4108 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) ) )
3722, 31reccld 9525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  T
)  e.  CC )
3837adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  T )  e.  CC )
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 20638 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) )
40 rpssre 10360 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
41 o1const 12088 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
1  /  T )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O
( 1 ) )
4240, 37, 41sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O
( 1 ) )
4324, 38, 39, 42o1mul2 12093 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  e.  O ( 1 ) )
4436, 43eqeltrrd 2360 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    +oocpnf 8860    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   ZZcz 10020   RR+crp 10350   [,)cico 10653   ...cfz 10777   |_cfl 10919    seq cseq 11041   abscabs 11714    ~~> cli 11953   O (
1 )co1 11955   sum_csu 12153   Basecbs 13143   0gc0g 13395   ZRHomczrh 16446  ℤ/nczn 16449   mmucmu 20327  DChrcdchr 20466
This theorem is referenced by:  dchrmusum  20668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-rpss 6239  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ec 6658  df-qs 6662  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10655  df-ioc 10656  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-mod 10969  df-seq 11042  df-exp 11100  df-fac 11284  df-bc 11311  df-hash 11333  df-word 11404  df-concat 11405  df-s1 11406  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-o1 11959  df-lo1 11960  df-sum 12154  df-ef 12344  df-e 12345  df-sin 12346  df-cos 12347  df-pi 12349  df-dvds 12527  df-gcd 12681  df-prm 12754  df-numer 12801  df-denom 12802  df-phi 12829  df-pc 12885  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-hom 13227  df-cco 13228  df-rest 13322  df-topn 13323  df-topgen 13339  df-pt 13340  df-prds 13343  df-xrs 13398  df-0g 13399  df-gsum 13400  df-qtop 13405  df-imas 13406  df-divs 13407  df-xps 13408  df-mre 13483  df-mrc 13484  df-acs 13486  df-mnd 14362  df-mhm 14410  df-submnd 14411  df-grp 14484  df-minusg 14485  df-sbg 14486  df-mulg 14487  df-subg 14613  df-nsg 14614  df-eqg 14615  df-ghm 14676  df-gim 14718  df-ga 14739  df-cntz 14788  df-oppg 14814  df-od 14839  df-gex 14840  df-pgp 14841  df-lsm 14942  df-pj1 14943  df-cmn 15086  df-abl 15087  df-cyg 15160  df-dprd 15228  df-dpj 15229  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-cring 15336  df-ur 15337  df-oppr 15400  df-dvdsr 15418  df-unit 15419  df-invr 15449  df-dvr 15460  df-rnghom 15491  df-drng 15509  df-subrg 15538  df-lmod 15624  df-lss 15685  df-lsp 15724  df-sra 15920  df-rgmod 15921  df-lidl 15922  df-rsp 15923  df-2idl 15979  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-cnfld 16373  df-zrh 16450  df-zn 16453  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-topsp 16635  df-cld 16751  df-ntr 16752  df-cls 16753  df-nei 16830  df-lp 16863  df-perf 16864  df-cn 16952  df-cnp 16953  df-haus 17038  df-cmp 17109  df-tx 17252  df-hmeo 17441  df-fbas 17515  df-fg 17516  df-fil 17536  df-fm 17628  df-flim 17629  df-flf 17630  df-xms 17880  df-ms 17881  df-tms 17882  df-cncf 18377  df-0p 19020  df-limc 19211  df-dv 19212  df-ply 19565  df-idp 19566  df-coe 19567  df-dgr 19568  df-quot 19666  df-log 19909  df-cxp 19910  df-em 20282  df-cht 20329  df-vma 20330  df-chp 20331  df-ppi 20332  df-mu 20333  df-dchr 20467
  Copyright terms: Public domain W3C validator