MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Unicode version

Theorem dchrmusumlem 21169
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    T, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
98adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 20982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
11 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1211adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 mucl 20877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1514zred 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1615, 12nndivred 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
1716recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1810, 17mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  CC )
191, 18fsumcl 12482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  CC )
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
21 climcl 12248 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2322adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
2419, 23mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  T
)  e.  CC )
25 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
28 dchrmusum.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
29 dchrmusum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 21168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
3231adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  =/=  0 )
3324, 23, 32divrecd 9749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )
3419, 23, 32divcan4d 9752 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3533, 34eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3635mpteq2dva 4255 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) ) )
3722, 31reccld 9739 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  T
)  e.  CC )
3837adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  T )  e.  CC )
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 21141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) )
40 rpssre 10578 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
41 o1const 12368 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
1  /  T )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O
( 1 ) )
4240, 37, 41sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O
( 1 ) )
4324, 38, 39, 42o1mul2 12373 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  e.  O ( 1 ) )
4436, 43eqeltrrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZcz 10238   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   O (
1 )co1 12235   sum_csu 12434   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736   mmucmu 20830  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrmusum  21171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-numer 13082  df-denom 13083  df-phi 13110  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-ga 15022  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-od 15122  df-gex 15123  df-pgp 15124  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-cyg 15443  df-dprd 15511  df-dpj 15512  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ply 20060  df-idp 20061  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-quot 20161  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835  df-mu 20836  df-dchr 20970
  Copyright terms: Public domain W3C validator