Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Unicode version

Theorem dchrmusumlem 21169
 Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by , is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
dchrmusum.g DChr
dchrmusum.d
dchrmusum.1
dchrmusum.b
dchrmusum.n1
dchrmusum.f
dchrmusum.c
dchrmusum.t
dchrmusum.2
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . . . . 7
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9 DChr
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 ℤ/n
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 RHom
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10
76ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
8 elfzelz 11015 . . . . . . . . . 10
98adantl 453 . . . . . . . . 9
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 20982 . . . . . . . 8
11 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . 13
1211adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
13 mucl 20877 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11
1514zred 10331 . . . . . . . . . 10
1615, 12nndivred 10004 . . . . . . . . 9
1716recnd 9070 . . . . . . . 8
1810, 17mulcld 9064 . . . . . . 7
191, 18fsumcl 12482 . . . . . 6
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8
21 climcl 12248 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7
2322adantr 452 . . . . . 6
2419, 23mulcld 9064 . . . . 5
25 rpvmasum.a . . . . . . 7
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7
28 dchrmusum.f . . . . . . 7
29 dchrmusum.c . . . . . . 7
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 21168 . . . . . 6
3231adantr 452 . . . . 5
3324, 23, 32divrecd 9749 . . . 4
3419, 23, 32divcan4d 9752 . . . 4
3533, 34eqtr3d 2438 . . 3
3635mpteq2dva 4255 . 2
3722, 31reccld 9739 . . . 4
3837adantr 452 . . 3
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 21141 . . 3
40 rpssre 10578 . . . 4
41 o1const 12368 . . . 4
4240, 37, 41sylancr 645 . . 3
4324, 38, 39, 42o1mul2 12373 . 2
4436, 43eqeltrrd 2479 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666   wss 3280   class class class wbr 4172   cmpt 4226  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cpnf 9073   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  cz 10238  crp 10568  cico 10874  cfz 10999  cfl 11156   cseq 11278  cabs 11994   cli 12233  co1 12235  csu 12434  cbs 13424  c0g 13678  RHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  cmu 20830  DChrcdchr 20969 This theorem is referenced by:  dchrmusum  21171 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-numer 13082  df-denom 13083  df-phi 13110  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-ga 15022  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-od 15122  df-gex 15123  df-pgp 15124  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-cyg 15443  df-dprd 15511  df-dpj 15512  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ply 20060  df-idp 20061  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-quot 20161  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835  df-mu 20836  df-dchr 20970
 Copyright terms: Public domain W3C validator