MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Unicode version

Theorem dchrsum 21053
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character  X is  0 if  X is non-principal and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrsum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrsum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrsum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrsum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
Assertion
Ref Expression
dchrsum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( X `  a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    .1. , a    B, a    ph, a    X, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    G( a)    N( a)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Z
)
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
31, 2unitss 15765 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  C_  B
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (Unit `  Z )  C_  B )
5 dchrsum.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrsum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 dchrsum.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 dchrsum.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
95, 6, 7, 1, 8dchrf 21026 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
103sseli 3344 . . . 4  |-  ( a  e.  (Unit `  Z
)  ->  a  e.  B )
11 ffvelrn 5868 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( X `  a
)  e.  CC )
129, 10, 11syl2an 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  (Unit `  Z ) )  ->  ( X `  a )  e.  CC )
13 eldif 3330 . . . 4  |-  ( a  e.  ( B  \ 
(Unit `  Z )
)  <->  ( a  e.  B  /\  -.  a  e.  (Unit `  Z )
) )
148adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
15 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 21034 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  =/=  0  <->  a  e.  (Unit `  Z )
) )
1716biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  =/=  0  -> 
a  e.  (Unit `  Z ) ) )
1817necon1bd 2672 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( -.  a  e.  (Unit `  Z )  ->  ( X `  a )  =  0 ) )
1918impr 603 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  -.  a  e.  (Unit `  Z )
) )  ->  ( X `  a )  =  0 )
2013, 19sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( B  \  (Unit `  Z ) ) )  ->  ( X `  a )  =  0 )
215, 7dchrrcl 21024 . . . 4  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
226, 1znfi 16840 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
238, 21, 223syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
244, 12, 20, 23fsumss 12519 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 a )  = 
sum_ a  e.  B  ( X `  a ) )
25 dchrsum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 21052 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2724, 26eqtr3d 2470 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( X `  a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ifcif 3739   -->wf 5450   ` cfv 5454   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990   NNcn 10000   sum_csu 12479   phicphi 13153   Basecbs 13469   0gc0g 13723  Unitcui 15744  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrhash  21055  dchr2sum  21057  dchrisumlem1  21183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-phi 13155  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-dchr 21017
  Copyright terms: Public domain W3C validator