Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Unicode version

Theorem dchrsum 21053
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character is if is non-principal and otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g DChr
dchrsum.z ℤ/n
dchrsum.d
dchrsum.1
dchrsum.x
dchrsum.b
Assertion
Ref Expression
dchrsum
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5
2 eqid 2436 . . . . 5 Unit Unit
31, 2unitss 15765 . . . 4 Unit
43a1i 11 . . 3 Unit
5 dchrsum.g . . . . 5 DChr
6 dchrsum.z . . . . 5 ℤ/n
7 dchrsum.d . . . . 5
8 dchrsum.x . . . . 5
95, 6, 7, 1, 8dchrf 21026 . . . 4
103sseli 3344 . . . 4 Unit
11 ffvelrn 5868 . . . 4
129, 10, 11syl2an 464 . . 3 Unit
13 eldif 3330 . . . 4 Unit Unit
148adantr 452 . . . . . . . 8
15 simpr 448 . . . . . . . 8
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 21034 . . . . . . 7 Unit
1716biimpd 199 . . . . . 6 Unit
1817necon1bd 2672 . . . . 5 Unit
1918impr 603 . . . 4 Unit
2013, 19sylan2b 462 . . 3 Unit
215, 7dchrrcl 21024 . . . 4
226, 1znfi 16840 . . . 4
238, 21, 223syl 19 . . 3
244, 12, 20, 23fsumss 12519 . 2 Unit
25 dchrsum.1 . . 3
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 21052 . 2 Unit
2724, 26eqtr3d 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cdif 3317   wss 3320  cif 3739  wf 5450  cfv 5454  cfn 7109  cc 8988  cc0 8990  cn 10000  csu 12479  cphi 13153  cbs 13469  c0g 13723  Unitcui 15744  ℤ/nℤczn 16781  DChrcdchr 21016 This theorem is referenced by:  dchrhash  21055  dchr2sum  21057  dchrisumlem1  21183 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-phi 13155  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-dchr 21017
 Copyright terms: Public domain W3C validator