MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Unicode version

Theorem dchrsum 20503
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character  X is  0 if  X is non-principal and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrsum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrsum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrsum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrsum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
Assertion
Ref Expression
dchrsum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( X `  a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    .1. , a    B, a    ph, a    X, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    G( a)    N( a)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Z
)
2 eqid 2285 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
31, 2unitss 15437 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  C_  B
43a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  (Unit `  Z )  C_  B )
5 dchrsum.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrsum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 dchrsum.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 dchrsum.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
95, 6, 7, 1, 8dchrf 20476 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
103sseli 3178 . . . 4  |-  ( a  e.  (Unit `  Z
)  ->  a  e.  B )
11 ffvelrn 5625 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( X `  a
)  e.  CC )
129, 10, 11syl2an 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  (Unit `  Z ) )  ->  ( X `  a )  e.  CC )
13 eldif 3164 . . . 4  |-  ( a  e.  ( B  \ 
(Unit `  Z )
)  <->  ( a  e.  B  /\  -.  a  e.  (Unit `  Z )
) )
148adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
15 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 20484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  =/=  0  <->  a  e.  (Unit `  Z )
) )
1716biimpd 200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  =/=  0  -> 
a  e.  (Unit `  Z ) ) )
1817necon1bd 2516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( -.  a  e.  (Unit `  Z )  ->  ( X `  a )  =  0 ) )
1918impr 604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  -.  a  e.  (Unit `  Z )
) )  ->  ( X `  a )  =  0 )
2013, 19sylan2b 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( B  \  (Unit `  Z ) ) )  ->  ( X `  a )  =  0 )
215, 7dchrrcl 20474 . . . 4  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
226, 1znfi 16508 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
238, 21, 223syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
244, 12, 20, 23fsumss 12193 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 a )  = 
sum_ a  e.  B  ( X `  a ) )
25 dchrsum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 20502 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2724, 26eqtr3d 2319 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( X `  a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448    \ cdif 3151    C_ wss 3154   ifcif 3567   -->wf 5218   ` cfv 5222   Fincfn 6859   CCcc 8731   0cc0 8733   NNcn 9742   sum_csu 12153   phicphi 12827   Basecbs 13143   0gc0g 13395  Unitcui 15416  ℤ/nczn 16449  DChrcdchr 20466
This theorem is referenced by:  dchrhash  20505  dchr2sum  20507  dchrisumlem1  20633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-ec 6658  df-qs 6662  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-mod 10969  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-sum 12154  df-dvds 12527  df-gcd 12681  df-phi 12829  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-0g 13399  df-imas 13406  df-divs 13407  df-mnd 14362  df-mhm 14410  df-grp 14484  df-minusg 14485  df-sbg 14486  df-mulg 14487  df-subg 14613  df-nsg 14614  df-eqg 14615  df-ghm 14676  df-cmn 15086  df-abl 15087  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-cring 15336  df-ur 15337  df-oppr 15400  df-dvdsr 15418  df-unit 15419  df-invr 15449  df-rnghom 15491  df-subrg 15538  df-lmod 15624  df-lss 15685  df-lsp 15724  df-sra 15920  df-rgmod 15921  df-lidl 15922  df-rsp 15923  df-2idl 15979  df-cnfld 16373  df-zrh 16450  df-zn 16453  df-dchr 20467
  Copyright terms: Public domain W3C validator