Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasum2lem 21182
 Description: Give an expression for remarkably similar to Λ given in dchrvmasumlem1 21181. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasum.a
dchrvmasum2.2
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . . . 7
21fveq2d 5724 . . . . . 6
3 id 20 . . . . . 6
42, 3oveq12d 6091 . . . . 5
5 oveq2 6081 . . . . . 6
65fveq2d 5724 . . . . 5
74, 6oveq12d 6091 . . . 4
87oveq2d 6089 . . 3
9 dchrvmasum.a . . . 4
109rpred 10640 . . 3
11 elrabi 3082 . . . . . . 7
1211ad2antll 710 . . . . . 6
13 mucl 20916 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5
1514zcnd 10368 . . . 4
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8 DChr
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8 ℤ/n
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8 RHom
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9
2120adantr 452 . . . . . . . 8
22 elfzelz 11051 . . . . . . . . 9
2322adantl 453 . . . . . . . 8
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 21021 . . . . . . 7
25 elfznn 11072 . . . . . . . . 9
2625adantl 453 . . . . . . . 8
2726nncnd 10008 . . . . . . 7
2826nnne0d 10036 . . . . . . 7
2924, 27, 28divcld 9782 . . . . . 6
3025nnrpd 10639 . . . . . . . . 9
31 rpdivcl 10626 . . . . . . . . 9
329, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . 8
3332relogcld 20510 . . . . . . 7
3433recnd 9106 . . . . . 6
3529, 34mulcld 9100 . . . . 5
3635adantrr 698 . . . 4
3715, 36mulcld 9100 . . 3
388, 10, 37dvdsflsumcom 20965 . 2
39 fveq2 5720 . . . . . . 7
4039fveq2d 5724 . . . . . 6
41 id 20 . . . . . 6
4240, 41oveq12d 6091 . . . . 5
43 oveq2 6081 . . . . . 6
4443fveq2d 5724 . . . . 5
4542, 44oveq12d 6091 . . . 4
46 fzfid 11304 . . . 4
4725ssriv 3344 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7
50 flge1nn 11218 . . . . . . 7
5110, 49, 50syl2anc 643 . . . . . 6
52 nnuz 10513 . . . . . 6
5351, 52syl6eleq 2525 . . . . 5
54 eluzfz1 11056 . . . . 5
5553, 54syl 16 . . . 4
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 20969 . . 3
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 21020 . . . . . 6
5857oveq1d 6088 . . . . 5
59 ax-1cn 9040 . . . . . 6
6059div1i 9734 . . . . 5
6158, 60syl6eq 2483 . . . 4
629rpcnd 10642 . . . . . 6
6362div1d 9774 . . . . 5
6463fveq2d 5724 . . . 4
6561, 64oveq12d 6091 . . 3
669relogcld 20510 . . . . 5
6766recnd 9106 . . . 4
6867mulid2d 9098 . . 3
6956, 65, 683eqtrrd 2472 . 2
70 fzfid 11304 . . . . 5
7120adantr 452 . . . . . . 7
72 elfzelz 11051 . . . . . . . 8
7372adantl 453 . . . . . . 7
7416, 17, 18, 19, 71, 73dchrzrhcl 21021 . . . . . 6
75 fznnfl 11235 . . . . . . . . . . . 12
7610, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11
7776simprbda 607 . . . . . . . . . 10
7877, 13syl 16 . . . . . . . . 9
7978zred 10367 . . . . . . . 8
8079, 77nndivred 10040 . . . . . . 7
8180recnd 9106 . . . . . 6
8274, 81mulcld 9100 . . . . 5
8320ad2antrr 707 . . . . . . 7
84 elfzelz 11051 . . . . . . . 8
8584adantl 453 . . . . . . 7
8616, 17, 18, 19, 83, 85dchrzrhcl 21021 . . . . . 6
87 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . 12
8887nnrpd 10639 . . . . . . . . . . 11
89 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . . 11
909, 88, 89syl2an 464 . . . . . . . . . 10
91 elfznn 11072 . . . . . . . . . . 11
9291nnrpd 10639 . . . . . . . . . 10
93 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . 10
9490, 92, 93syl2an 464 . . . . . . . . 9
9594relogcld 20510 . . . . . . . 8
9691adantl 453 . . . . . . . 8
9795, 96nndivred 10040 . . . . . . 7
9897recnd 9106 . . . . . 6
9986, 98mulcld 9100 . . . . 5
10070, 82, 99fsummulc2 12559 . . . 4
10174adantr 452 . . . . . . . 8
10279adantr 452 . . . . . . . . 9
103102recnd 9106 . . . . . . . 8
10477nnrpd 10639 . . . . . . . . . 10
105104adantr 452 . . . . . . . . 9
106105rpcnne0d 10649 . . . . . . . 8
107 div12 9692 . . . . . . . 8
108101, 103, 106, 107syl3anc 1184 . . . . . . 7
10995recnd 9106 . . . . . . . 8
11096nnrpd 10639 . . . . . . . . 9
111110rpcnne0d 10649 . . . . . . . 8
112 div12 9692 . . . . . . . 8
11386, 109, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . . 7
114108, 113oveq12d 6091 . . . . . 6
115105rpcnd 10642 . . . . . . . . . 10
116105rpne0d 10645 . . . . . . . . . 10
117101, 115, 116divcld 9782 . . . . . . . . 9
11896nncnd 10008 . . . . . . . . . 10
11996nnne0d 10036 . . . . . . . . . 10
12086, 118, 119divcld 9782 . . . . . . . . 9
121117, 120mulcld 9100 . . . . . . . 8
122103, 109, 121mulassd 9103 . . . . . . 7
123103, 117, 109, 120mul4d 9270 . . . . . . 7
12472ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13
12516, 17, 18, 19, 83, 124, 85dchrzrhmul 21022 . . . . . . . . . . . 12
126125oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
127 divmuldiv 9706 . . . . . . . . . . . 12
128101, 86, 106, 111, 127syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
129126, 128eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10
13062ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
131 divdiv1 9717 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 106, 111, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
133132eqcomd 2440 . . . . . . . . . . 11
134133fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
135129, 134oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
136121, 109mulcomd 9101 . . . . . . . . 9
137135, 136eqtrd 2467 . . . . . . . 8
138137oveq2d 6089 . . . . . . 7
139122, 123, 1383eqtr4d 2477 . . . . . 6
140114, 139eqtrd 2467 . . . . 5
141140sumeq2dv 12489 . . . 4
142100, 141eqtrd 2467 . . 3
143142sumeq2dv 12489 . 2
14438, 69, 1433eqtr4d 2477 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  crab 2701   wss 3312   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cfz 11035  cfl 11193  csu 12471   cdivides 12844  cbs 13461  c0g 13715  RHomczrh 16770  ℤ/nℤczn 16773  clog 20444  cmu 20869  DChrcdchr 21008 This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  21183 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-divs 13727  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-2idl 16295  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-zrh 16774  df-zn 16777  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-mu 20875  df-dchr 21009
 Copyright terms: Public domain W3C validator