MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumif Unicode version

Theorem dchrvmasumif 21065
Description: An asymptotic approximation for the sum of  X ( n )Λ
( n )  /  n conditional on the value of the infinite sum  S. (We will later show that the case  S  =  0 is impossible, and hence establish dchrvmasum 21087.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumif.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrvmasumif.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrvmasumif.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrvmasumif.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumif  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    S, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    S( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmasumif
Dummy variables  c 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 eqid 2388 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dchrvmasumlema 21062 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
113adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
127adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  X  e.  D
)
138adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
14 dchrvmasumif.f . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
15 dchrvmasumif.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
17 dchrvmasumif.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
1817adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
19 dchrvmasumif.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
21 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
22 simprrl 741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) ) )  ~~>  t )
23 simprrr 742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) )
241, 2, 11, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 9, 21, 22, 23dchrvmasumiflem2 21064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
2524rexlimdvaa 2775 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
2625exlimdv 1643 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
2710, 26mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   NNcn 9933   3c3 9983   RR+crp 10545   [,)cico 10851   ...cfz 10976   |_cfl 11129    seq cseq 11251   abscabs 11967    ~~> cli 12206   O (
1 )co1 12208   sum_csu 12407   Basecbs 13397   0gc0g 13651   ZRHomczrh 16702  ℤ/nczn 16705   logclog 20320  Λcvma 20742  DChrcdchr 20884
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  21074  dchrvmasumlem  21085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-o1 12212  df-lo1 12213  df-sum 12408  df-ef 12598  df-e 12599  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-prm 13008  df-phi 13083  df-pc 13139  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-divs 13663  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-nsg 14870  df-eqg 14871  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-od 15095  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-rnghom 15747  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-lidl 16174  df-rsp 16175  df-2idl 16231  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-zrh 16706  df-zn 16709  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323  df-em 20699  df-vma 20748  df-mu 20751  df-dchr 20885
  Copyright terms: Public domain W3C validator