MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem Unicode version

Theorem dchrvmasumlem 20635
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    T, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmasumlem
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 dchrmusum.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
5 dchrmusum.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 dchrmusum.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrmusum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrmusum.n1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 dchrmusum.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
10 dchrmusum.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 dchrmusum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
12 dchrmusum.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrisumn0 20633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
1413adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  =/=  0 )
15 ifnefalse 3547 . . . . . 6  |-  ( T  =/=  0  ->  if ( T  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 )  =  0 )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  if ( T  =  0 , 
( log `  x
) ,  0 )  =  0 )
1716oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  if ( T  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  0 ) )
18 fzfid 11002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
197ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
20 elfzelz 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
2120adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
224, 1, 5, 2, 19, 21dchrzrhcl 20447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
23 elfznn 10786 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2423adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
25 vmacl 20319 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
26 nndivre 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
2725, 26mpancom 653 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
2824, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
2928recnd 8829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
3022, 29mulcld 8823 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  CC )
3118, 30fsumcl 12172 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
3231addid1d 8980 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  0 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
3317, 32eqtrd 2290 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  if ( T  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
3433mpteq2dva 4080 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( T  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) ) )
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrvmasumif 20615 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( T  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
3634, 35eqeltrrd 2333 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   ifcif 3539   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    +oocpnf 8832    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   NNcn 9714   ZZcz 9992   RR+crp 10322   [,)cico 10625   ...cfz 10749   |_cfl 10891    seq cseq 11013   abscabs 11685    ~~> cli 11924   O (
1 )co1 11926   sum_csu 12124   Basecbs 13111   0gc0g 13363   ZRHomczrh 16414  ℤ/nczn 16417   logclog 19875  Λcvma 20292  DChrcdchr 20434
This theorem is referenced by:  dchrvmasum  20637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-rpss 6211  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ioc 10628  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-word 11375  df-concat 11376  df-s1 11377  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-o1 11930  df-lo1 11931  df-sum 12125  df-ef 12312  df-e 12313  df-sin 12314  df-cos 12315  df-pi 12317  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-prime 12722  df-numer 12769  df-denom 12770  df-phi 12797  df-pc 12853  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-divs 13375  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-mhm 14378  df-submnd 14379  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-mulg 14455  df-subg 14581  df-nsg 14582  df-eqg 14583  df-ghm 14644  df-gim 14686  df-ga 14707  df-cntz 14756  df-oppg 14782  df-od 14807  df-gex 14808  df-pgp 14809  df-lsm 14910  df-pj1 14911  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-cyg 15128  df-dprd 15196  df-dpj 15197  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-cring 15304  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-invr 15417  df-dvr 15428  df-rnghom 15459  df-drng 15477  df-subrg 15506  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-lsp 15692  df-sra 15888  df-rgmod 15889  df-lidl 15890  df-rsp 15891  df-2idl 15947  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-zrh 16418  df-zn 16421  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lp 16831  df-perf 16832  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-haus 17006  df-cmp 17077  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cncf 18345  df-0p 18988  df-limc 19179  df-dv 19180  df-ply 19533  df-idp 19534  df-coe 19535  df-dgr 19536  df-quot 19634  df-log 19877  df-cxp 19878  df-em 20250  df-cht 20297  df-vma 20298  df-chp 20299  df-ppi 20300  df-mu 20301  df-dchr 20435
  Copyright terms: Public domain W3C validator