Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Unicode version

Theorem dchrvmasumlem1 20644
 Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasum.a
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1 Λ
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5
21fveq2d 5529 . . . 4
3 oveq2 5866 . . . . 5
4 oveq1 5865 . . . . . 6
54fveq2d 5529 . . . . 5
63, 5oveq12d 5876 . . . 4
72, 6oveq12d 5876 . . 3
8 dchrvmasum.a . . . 4
98rpred 10390 . . 3
10 rpvmasum.g . . . . . 6 DChr
11 rpvmasum.z . . . . . 6 ℤ/n
12 rpvmasum.d . . . . . 6
13 rpvmasum.l . . . . . 6 RHom
14 dchrisum.b . . . . . . 7
1514adantr 451 . . . . . 6
16 elfzelz 10798 . . . . . . 7
1716adantl 452 . . . . . 6
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 20484 . . . . 5
1918adantrr 697 . . . 4
20 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11
2120sseli 3176 . . . . . . . . . 10
2221ad2antll 709 . . . . . . . . 9
23 mucl 20379 . . . . . . . . 9
2422, 23syl 15 . . . . . . . 8
2524zred 10117 . . . . . . 7
26 elfznn 10819 . . . . . . . 8
2726ad2antrl 708 . . . . . . 7
2825, 27nndivred 9794 . . . . . 6
2928recnd 8861 . . . . 5
3027nnrpd 10389 . . . . . . . 8
3122nnrpd 10389 . . . . . . . 8
3230, 31rpdivcld 10407 . . . . . . 7
3332relogcld 19974 . . . . . 6
3433recnd 8861 . . . . 5
3529, 34mulcld 8855 . . . 4
3619, 35mulcld 8855 . . 3
377, 9, 36dvdsflsumcom 20428 . 2
38 vmaf 20357 . . . . . . . . . . . . 13 Λ
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . 12 Λ
40 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . 12
41 fss 5397 . . . . . . . . . . . 12 Λ Λ
4239, 40, 41sylancl 643 . . . . . . . . . . 11 Λ
43 vmasum 20455 . . . . . . . . . . . . . 14 Λ
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13 Λ
4544eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . 12 Λ
4645mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11 Λ
4742, 46muinv 20433 . . . . . . . . . 10 Λ
4847fveq1d 5527 . . . . . . . . 9 Λ
49 sumex 12160 . . . . . . . . . 10
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
5150fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10
5226, 49, 51sylancl 643 . . . . . . . . 9
5348, 52sylan9eq 2335 . . . . . . . 8 Λ
54 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . 14
5655simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
5826adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
59 nndivdvds 12537 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 21, 59syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
6157, 60mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
63 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
64 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12
6562, 63, 64fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11
6661, 65syl 15 . . . . . . . . . 10
6766oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
6867sumeq2dv 12176 . . . . . . . 8
6953, 68eqtrd 2315 . . . . . . 7 Λ
7069oveq1d 5873 . . . . . 6 Λ
71 fzfid 11035 . . . . . . . 8
72 sgmss 20344 . . . . . . . . 9
7358, 72syl 15 . . . . . . . 8
74 ssfi 7083 . . . . . . . 8
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . 7
7658nncnd 9762 . . . . . . 7
7724zcnd 10118 . . . . . . . . 9
7877anassrs 629 . . . . . . . 8
7934anassrs 629 . . . . . . . 8
8078, 79mulcld 8855 . . . . . . 7
8158nnne0d 9790 . . . . . . 7
8275, 76, 80, 81fsumdivc 12248 . . . . . 6
8321adantl 452 . . . . . . . . . 10
8483, 23syl 15 . . . . . . . . 9
8584zcnd 10118 . . . . . . . 8
8676adantr 451 . . . . . . . 8
8781adantr 451 . . . . . . . 8
8885, 79, 86, 87div23d 9573 . . . . . . 7
8988sumeq2dv 12176 . . . . . 6
9070, 82, 893eqtrd 2319 . . . . 5 Λ
9190oveq2d 5874 . . . 4 Λ
9235anassrs 629 . . . . 5
9375, 18, 92fsummulc2 12246 . . . 4
9491, 93eqtrd 2315 . . 3 Λ
9594sumeq2dv 12176 . 2 Λ
96 fzfid 11035 . . . . 5
9714adantr 451 . . . . . . 7
98 elfzelz 10798 . . . . . . . 8
9998adantl 452 . . . . . . 7
10010, 11, 12, 13, 97, 99dchrzrhcl 20484 . . . . . 6
101 fznnfl 10966 . . . . . . . . . . . 12
1029, 101syl 15 . . . . . . . . . . 11
103102simprbda 606 . . . . . . . . . 10
104103, 23syl 15 . . . . . . . . 9
105104zred 10117 . . . . . . . 8
106105, 103nndivred 9794 . . . . . . 7
107106recnd 8861 . . . . . 6
108100, 107mulcld 8855 . . . . 5
10914ad2antrr 706 . . . . . . 7
110 elfzelz 10798 . . . . . . . 8
111110adantl 452 . . . . . . 7
11210, 11, 12, 13, 109, 111dchrzrhcl 20484 . . . . . 6
113 elfznn 10819 . . . . . . . . . . 11
114113adantl 452 . . . . . . . . . 10
115114nnrpd 10389 . . . . . . . . 9
116115relogcld 19974 . . . . . . . 8
117116, 114nndivred 9794 . . . . . . 7
118117recnd 8861 . . . . . 6
119112, 118mulcld 8855 . . . . 5
12096, 108, 119fsummulc2 12246 . . . 4
121100adantr 451 . . . . . . 7
122107adantr 451 . . . . . . 7
123121, 122, 112, 118mul4d 9024 . . . . . 6
12498ad2antlr 707 . . . . . . . 8
12510, 11, 12, 13, 109, 124, 111dchrzrhmul 20485 . . . . . . 7
126105adantr 451 . . . . . . . . . 10
127126recnd 8861 . . . . . . . . 9
128116recnd 8861 . . . . . . . . 9
129103nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12
130129adantr 451 . . . . . . . . . . 11
131130, 115rpmulcld 10406 . . . . . . . . . 10
132131rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9
133 div23 9443 . . . . . . . . 9
134127, 128, 132, 133syl3anc 1182 . . . . . . . 8
135130rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9
136115rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9
137 divmuldiv 9460 . . . . . . . . 9
138127, 128, 135, 136, 137syl22anc 1183 . . . . . . . 8
139114nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11
140130rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11
141130rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11
142139, 140, 141divcan3d 9541 . . . . . . . . . 10
143142fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
144143oveq2d 5874 . . . . . . . 8
145134, 138, 1443eqtr4rd 2326 . . . . . . 7
146125, 145oveq12d 5876 . . . . . 6
147123, 146eqtr4d 2318 . . . . 5
148147sumeq2dv 12176 . . . 4
149120, 148eqtrd 2315 . . 3
150149sumeq2dv 12176 . 2
15137, 95, 1503eqtr4d 2325 1 Λ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  crab 2547  cvv 2788   wss 3152   class class class wbr 4023   cmpt 4077  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742   cle 8868   cdiv 9423  cn 9746  cz 10024  crp 10354  cfz 10782  cfl 10924  csu 12158   cdivides 12531  cbs 13148  c0g 13400  RHomczrh 16451  ℤ/nℤczn 16454  clog 19912  Λcvma 20329  cmu 20332  DChrcdchr 20471 This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  20646 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-vma 20335  df-mu 20338  df-dchr 20472
 Copyright terms: Public domain W3C validator