Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumlem1 21189
 Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasum.a
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1 Λ
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . 5
21fveq2d 5732 . . . 4
3 oveq2 6089 . . . . 5
4 oveq1 6088 . . . . . 6
54fveq2d 5732 . . . . 5
63, 5oveq12d 6099 . . . 4
72, 6oveq12d 6099 . . 3
8 dchrvmasum.a . . . 4
98rpred 10648 . . 3
10 rpvmasum.g . . . . . 6 DChr
11 rpvmasum.z . . . . . 6 ℤ/n
12 rpvmasum.d . . . . . 6
13 rpvmasum.l . . . . . 6 RHom
14 dchrisum.b . . . . . . 7
1514adantr 452 . . . . . 6
16 elfzelz 11059 . . . . . . 7
1716adantl 453 . . . . . 6
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 21029 . . . . 5
1918adantrr 698 . . . 4
20 elrabi 3090 . . . . . . . . . 10
2120ad2antll 710 . . . . . . . . 9
22 mucl 20924 . . . . . . . . 9
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8
2423zred 10375 . . . . . . 7
25 elfznn 11080 . . . . . . . 8
2625ad2antrl 709 . . . . . . 7
2724, 26nndivred 10048 . . . . . 6
2827recnd 9114 . . . . 5
2926nnrpd 10647 . . . . . . . 8
3021nnrpd 10647 . . . . . . . 8
3129, 30rpdivcld 10665 . . . . . . 7
3231relogcld 20518 . . . . . 6
3332recnd 9114 . . . . 5
3428, 33mulcld 9108 . . . 4
3519, 34mulcld 9108 . . 3
367, 9, 35dvdsflsumcom 20973 . 2
37 vmaf 20902 . . . . . . . . . . . . 13 Λ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 Λ
39 ax-resscn 9047 . . . . . . . . . . . 12
40 fss 5599 . . . . . . . . . . . 12 Λ Λ
4138, 39, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . 11 Λ
42 vmasum 21000 . . . . . . . . . . . . . 14 Λ
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 Λ
4443eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . 12 Λ
4544mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . 11 Λ
4641, 45muinv 20978 . . . . . . . . . 10 Λ
4746fveq1d 5730 . . . . . . . . 9 Λ
48 sumex 12481 . . . . . . . . . 10
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
5049fvmpt2 5812 . . . . . . . . . 10
5125, 48, 50sylancl 644 . . . . . . . . 9
5247, 51sylan9eq 2488 . . . . . . . 8 Λ
53 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . 14
5554simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
5725adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
58 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . . 13
5957, 20, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
6056, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
61 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
62 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
63 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12
6461, 62, 63fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11
6560, 64syl 16 . . . . . . . . . 10
6665oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
6766sumeq2dv 12497 . . . . . . . 8
6852, 67eqtrd 2468 . . . . . . 7 Λ
6968oveq1d 6096 . . . . . 6 Λ
70 fzfid 11312 . . . . . . . 8
71 sgmss 20889 . . . . . . . . 9
7257, 71syl 16 . . . . . . . 8
73 ssfi 7329 . . . . . . . 8
7470, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . 7
7557nncnd 10016 . . . . . . 7
7623zcnd 10376 . . . . . . . . 9
7776anassrs 630 . . . . . . . 8
7833anassrs 630 . . . . . . . 8
7977, 78mulcld 9108 . . . . . . 7
8057nnne0d 10044 . . . . . . 7
8174, 75, 79, 80fsumdivc 12569 . . . . . 6
8220adantl 453 . . . . . . . . . 10
8382, 22syl 16 . . . . . . . . 9
8483zcnd 10376 . . . . . . . 8
8575adantr 452 . . . . . . . 8
8680adantr 452 . . . . . . . 8
8784, 78, 85, 86div23d 9827 . . . . . . 7
8887sumeq2dv 12497 . . . . . 6
8969, 81, 883eqtrd 2472 . . . . 5 Λ
9089oveq2d 6097 . . . 4 Λ
9134anassrs 630 . . . . 5
9274, 18, 91fsummulc2 12567 . . . 4
9390, 92eqtrd 2468 . . 3 Λ
9493sumeq2dv 12497 . 2 Λ
95 fzfid 11312 . . . . 5
9614adantr 452 . . . . . . 7
97 elfzelz 11059 . . . . . . . 8
9897adantl 453 . . . . . . 7
9910, 11, 12, 13, 96, 98dchrzrhcl 21029 . . . . . 6
100 fznnfl 11243 . . . . . . . . . . . 12
1019, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11
102101simprbda 607 . . . . . . . . . 10
103102, 22syl 16 . . . . . . . . 9
104103zred 10375 . . . . . . . 8
105104, 102nndivred 10048 . . . . . . 7
106105recnd 9114 . . . . . 6
10799, 106mulcld 9108 . . . . 5
10814ad2antrr 707 . . . . . . 7
109 elfzelz 11059 . . . . . . . 8
110109adantl 453 . . . . . . 7
11110, 11, 12, 13, 108, 110dchrzrhcl 21029 . . . . . 6
112 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11
113112adantl 453 . . . . . . . . . 10
114113nnrpd 10647 . . . . . . . . 9
115114relogcld 20518 . . . . . . . 8
116115, 113nndivred 10048 . . . . . . 7
117116recnd 9114 . . . . . 6
118111, 117mulcld 9108 . . . . 5
11995, 107, 118fsummulc2 12567 . . . 4
12099adantr 452 . . . . . . 7
121106adantr 452 . . . . . . 7
122120, 121, 111, 117mul4d 9278 . . . . . 6
12397ad2antlr 708 . . . . . . . 8
12410, 11, 12, 13, 108, 123, 110dchrzrhmul 21030 . . . . . . 7
125104adantr 452 . . . . . . . . . 10
126125recnd 9114 . . . . . . . . 9
127115recnd 9114 . . . . . . . . 9
128102nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12
129128adantr 452 . . . . . . . . . . 11
130129, 114rpmulcld 10664 . . . . . . . . . 10
131130rpcnne0d 10657 . . . . . . . . 9
132 div23 9697 . . . . . . . . 9
133126, 127, 131, 132syl3anc 1184 . . . . . . . 8
134129rpcnne0d 10657 . . . . . . . . 9
135114rpcnne0d 10657 . . . . . . . . 9
136 divmuldiv 9714 . . . . . . . . 9
137126, 127, 134, 135, 136syl22anc 1185 . . . . . . . 8
138113nncnd 10016 . . . . . . . . . . 11
139129rpcnd 10650 . . . . . . . . . . 11
140129rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11
141138, 139, 140divcan3d 9795 . . . . . . . . . 10
142141fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
143142oveq2d 6097 . . . . . . . 8
144133, 137, 1433eqtr4rd 2479 . . . . . . 7
145124, 144oveq12d 6099 . . . . . 6
146122, 145eqtr4d 2471 . . . . 5
147146sumeq2dv 12497 . . . 4
148119, 147eqtrd 2468 . . 3
149148sumeq2dv 12497 . 2
15036, 94, 1493eqtr4d 2478 1 Λ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  crab 2709  cvv 2956   wss 3320   class class class wbr 4212   cmpt 4266  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   cle 9121   cdiv 9677  cn 10000  cz 10282  crp 10612  cfz 11043  cfl 11201  csu 12479   cdivides 12852  cbs 13469  c0g 13723  RHomczrh 16778  ℤ/nℤczn 16781  clog 20452  Λcvma 20874  cmu 20877  DChrcdchr 21016 This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  21191 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-vma 20880  df-mu 20883  df-dchr 21017
 Copyright terms: Public domain W3C validator