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Theorem dchrvmasumlem1 20592
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5444 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5448 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  /  n )  =  ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) ) )
4 oveq1 5785 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
n  /  d )  =  ( ( d  x.  m )  / 
d ) )
54fveq2d 5448 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( n  / 
d ) )  =  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )
63, 5oveq12d 5796 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )
72, 6oveq12d 5796 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
8 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
98rpred 10343 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
12 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
13 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
14 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 10750 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
1716adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 20432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
1918adantrr 700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
20 ssrab2 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  NN
2120sseli 3137 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
2221ad2antll 712 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
23 mucl 20327 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
2524zred 10070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
26 elfznn 10771 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2726ad2antrl 711 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  NN )
2825, 27nndivred 9748 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  RR )
2928recnd 8815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  CC )
3027nnrpd 10342 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  RR+ )
3122nnrpd 10342 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  RR+ )
3230, 31rpdivcld 10360 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( n  /  d )  e.  RR+ )
3332relogcld 19922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  RR )
3433recnd 8815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
3529, 34mulcld 8809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
3619, 35mulcld 8809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  e.  CC )
377, 9, 36dvdsflsumcom 20376 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
38 vmaf 20305 . . . . . . . . . . . . 13  |- Λ : NN --> RR
3938a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Λ : NN --> RR )
40 ax-resscn 8748 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
41 fss 5321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Λ : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> Λ : NN --> CC )
4239, 40, 41sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Λ : NN --> CC )
43 vmasum 20403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4443adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4544eqcomd 2261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  m )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  (Λ `  i
) )
4645mpteq2dva 4066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i ) ) )
4742, 46muinv 20381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Λ 
=  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) )
4847fveq1d 5446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Λ `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
) )
49 sumex 12111 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  e.  _V
50 eqid 2256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5150fvmpt2 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
5226, 49, 51sylancl 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) ) `  n )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5348, 52sylan9eq 2308 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
54 breq1 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  d  ->  (
x  ||  n  <->  d  ||  n ) )
5554elrab 2891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  <->  ( d  e.  NN  /\  d  ||  n ) )
5655simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  ||  n )
5756adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  ||  n )
5826adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
59 nndivdivides 12485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  /  d )  e.  NN ) )
6058, 21, 59syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  / 
d )  e.  NN ) )
6157, 60mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( n  /  d )  e.  NN )
62 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
63 eqid 2256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )
64 fvex 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  /  d )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6661, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6766oveq2d 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
6867sumeq2dv 12127 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6953, 68eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
7069oveq1d 5793 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
) )
71 fzfid 10987 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
72 sgmss 20292 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
7358, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
74 ssfi 7037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7571, 73, 74syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7658nncnd 9716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
7724zcnd 10071 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7877anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7934anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
8078, 79mulcld 8809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
8158nnne0d 9744 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8275, 76, 80, 81fsumdivc 12199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n ) )
8321adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  e.  NN )
8483, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
8584zcnd 10071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
8676adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  e.  CC )
8781adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  =/=  0 )
8885, 79, 86, 87div23d 9527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  /  n )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8988sumeq2dv 12127 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n )  = 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9070, 82, 893eqtrd 2292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9190oveq2d 5794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) ) )
9235anassrs 632 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
9375, 18, 92fsummulc2 12197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x. 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9491, 93eqtrd 2288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9594sumeq2dv 12127 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
96 fzfid 10987 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
9714adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
98 elfzelz 10750 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
9998adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
10010, 11, 12, 13, 97, 99dchrzrhcl 20432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
101 fznnfl 10918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
1029, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
103102simprbda 609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
104103, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
105104zred 10070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
106105, 103nndivred 9748 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
107106recnd 8815 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
108100, 107mulcld 8809 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
10914ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
110 elfzelz 10750 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
111110adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
11210, 11, 12, 13, 109, 111dchrzrhcl 20432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
113 elfznn 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
114113adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
115114nnrpd 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
116115relogcld 19922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
117116, 114nndivred 9748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
118117recnd 8815 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
119112, 118mulcld 8809 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
12096, 108, 119fsummulc2 12197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
121100adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
122107adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
123121, 122, 112, 118mul4d 8978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  d )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
12498ad2antlr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12510, 11, 12, 13, 109, 124, 111dchrzrhmul 20433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
126105adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
127126recnd 8815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
128116recnd 8815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
129103nnrpd 10342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
130129adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
131130, 115rpmulcld 10359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  x.  m )  e.  RR+ )
132131rpcnne0d 10352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  e.  CC  /\  (
d  x.  m )  =/=  0 ) )
133 div23 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  CC  /\  ( log `  m )  e.  CC  /\  (
( d  x.  m
)  e.  CC  /\  ( d  x.  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
134127, 128, 132, 133syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
135130rpcnne0d 10352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
136115rpcnne0d 10352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
137 divmuldiv 9414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  d )  e.  CC  /\  ( log `  m
)  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
138127, 128, 135, 136, 137syl22anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
139114nncnd 9716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
140130rpcnd 10345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
141130rpne0d 10348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
142139, 140, 141divcan3d 9495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  /  d )  =  m )
143142fveq2d 5448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) )  =  ( log `  m ) )
144143oveq2d 5794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
145134, 138, 1443eqtr4rd 2299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
146125, 145oveq12d 5796 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( X `  ( L `  m ) ) )  x.  (
( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
147123, 146eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
148147sumeq2dv 12127 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
149120, 148eqtrd 2288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
150149sumeq2dv 12127 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) ) )
15137, 95, 1503eqtr4d 2298 1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   {crab 2520   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Fincfn 6817   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    x. cmul 8696    <_ cle 8822    / cdiv 9377   NNcn 9700   ZZcz 9977   RR+crp 10307   ...cfz 10734   |_cfl 10876   sum_csu 12109    || cdivides 12479   Basecbs 13096   0gc0g 13348   ZRHomczrh 16399  ℤ/nczn 16402   logclog 19860  Λcvma 20277   mmucmu 20280  DChrcdchr 20419
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  20594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-ef 12297  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-prime 12707  df-pc 12838  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-divs 13360  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-mhm 14363  df-submnd 14364  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-mulg 14440  df-subg 14566  df-nsg 14567  df-eqg 14568  df-ghm 14629  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-cring 15289  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-rnghom 15444  df-subrg 15491  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lsp 15677  df-sra 15873  df-rgmod 15874  df-lidl 15875  df-rsp 15876  df-2idl 15932  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-zrh 16403  df-zn 16406  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165  df-log 19862  df-vma 20283  df-mu 20286  df-dchr 20420
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