MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Unicode version

Theorem dchrvmasumlem1 20476
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5377 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  /  n )  =  ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) ) )
4 oveq1 5717 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
n  /  d )  =  ( ( d  x.  m )  / 
d ) )
54fveq2d 5381 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( n  / 
d ) )  =  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )
63, 5oveq12d 5728 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )
72, 6oveq12d 5728 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
8 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
98rpred 10269 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
12 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
13 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
14 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 10676 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
1716adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 20316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
1918adantrr 700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
20 ssrab2 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  NN
2120sseli 3099 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
2221ad2antll 712 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
23 mucl 20211 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
2524zred 9996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
26 elfznn 10697 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2726ad2antrl 711 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  NN )
2825, 27nndivred 9674 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  RR )
2928recnd 8741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  CC )
3027nnrpd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  RR+ )
3122nnrpd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  RR+ )
3230, 31rpdivcld 10286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( n  /  d )  e.  RR+ )
3332relogcld 19806 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  RR )
3433recnd 8741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
3529, 34mulcld 8735 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
3619, 35mulcld 8735 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  e.  CC )
377, 9, 36dvdsflsumcom 20260 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
38 vmaf 20189 . . . . . . . . . . . . 13  |- Λ : NN --> RR
3938a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Λ : NN --> RR )
40 ax-resscn 8674 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
41 fss 5254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Λ : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> Λ : NN --> CC )
4239, 40, 41sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Λ : NN --> CC )
43 vmasum 20287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4443adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4544eqcomd 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  m )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  (Λ `  i
) )
4645mpteq2dva 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i ) ) )
4742, 46muinv 20265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Λ 
=  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) )
4847fveq1d 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Λ `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
) )
49 sumex 12037 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  e.  _V
50 eqid 2253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5150fvmpt2 5460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
5226, 49, 51sylancl 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) ) `  n )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5348, 52sylan9eq 2305 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
54 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  d  ->  (
x  ||  n  <->  d  ||  n ) )
5554elrab 2860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  <->  ( d  e.  NN  /\  d  ||  n ) )
5655simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  ||  n )
5756adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  ||  n )
5826adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
59 nndivdivides 12411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  /  d )  e.  NN ) )
6058, 21, 59syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  / 
d )  e.  NN ) )
6157, 60mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( n  /  d )  e.  NN )
62 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
63 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )
64 fvex 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  /  d )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6661, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6766oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
6867sumeq2dv 12053 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6953, 68eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
7069oveq1d 5725 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
) )
71 fzfid 10913 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
72 sgmss 20176 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
7358, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
74 ssfi 6968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7571, 73, 74syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7658nncnd 9642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
7724zcnd 9997 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7877anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7934anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
8078, 79mulcld 8735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
8158nnne0d 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8275, 76, 80, 81fsumdivc 12125 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n ) )
8321adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  e.  NN )
8483, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
8584zcnd 9997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
8676adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  e.  CC )
8781adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  =/=  0 )
8885, 79, 86, 87div23d 9453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  /  n )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8988sumeq2dv 12053 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n )  = 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9070, 82, 893eqtrd 2289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9190oveq2d 5726 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) ) )
9235anassrs 632 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
9375, 18, 92fsummulc2 12123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x. 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9491, 93eqtrd 2285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9594sumeq2dv 12053 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
96 fzfid 10913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
9714adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
98 elfzelz 10676 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
9998adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
10010, 11, 12, 13, 97, 99dchrzrhcl 20316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
101 fznnfl 10844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
1029, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
103102simprbda 609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
104103, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
105104zred 9996 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
106105, 103nndivred 9674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
107106recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
108100, 107mulcld 8735 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
10914ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
110 elfzelz 10676 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
111110adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
11210, 11, 12, 13, 109, 111dchrzrhcl 20316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
113 elfznn 10697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
114113adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
115114nnrpd 10268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
116115relogcld 19806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
117116, 114nndivred 9674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
118117recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
119112, 118mulcld 8735 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
12096, 108, 119fsummulc2 12123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
121100adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
122107adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
123121, 122, 112, 118mul4d 8904 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  d )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
12498ad2antlr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12510, 11, 12, 13, 109, 124, 111dchrzrhmul 20317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
126105adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
127126recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
128116recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
129103nnrpd 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
130129adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
131130, 115rpmulcld 10285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  x.  m )  e.  RR+ )
132131rpcnne0d 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  e.  CC  /\  (
d  x.  m )  =/=  0 ) )
133 div23 9323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  CC  /\  ( log `  m )  e.  CC  /\  (
( d  x.  m
)  e.  CC  /\  ( d  x.  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
134127, 128, 132, 133syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
135130rpcnne0d 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
136115rpcnne0d 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
137 divmuldiv 9340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  d )  e.  CC  /\  ( log `  m
)  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
138127, 128, 135, 136, 137syl22anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
139114nncnd 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
140130rpcnd 10271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
141130rpne0d 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
142139, 140, 141divcan3d 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  /  d )  =  m )
143142fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) )  =  ( log `  m ) )
144143oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
145134, 138, 1443eqtr4rd 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
146125, 145oveq12d 5728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( X `  ( L `  m ) ) )  x.  (
( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
147123, 146eqtr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
148147sumeq2dv 12053 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
149120, 148eqtrd 2285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
150149sumeq2dv 12053 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) ) )
15137, 95, 1503eqtr4d 2295 1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   {crab 2512   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Fincfn 6749   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622    <_ cle 8748    / cdiv 9303   NNcn 9626   ZZcz 9903   RR+crp 10233   ...cfz 10660   |_cfl 10802   sum_csu 12035    || cdivides 12405   Basecbs 13022   0gc0g 13274   ZRHomczrh 16283  ℤ/nczn 16286   logclog 19744  Λcvma 20161   mmucmu 20164  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  20478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-rnghom 15331  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-vma 20167  df-mu 20170  df-dchr 20304
  Copyright terms: Public domain W3C validator