Theorem dchrvmasumlem2 21145

Description: Lemma for dchrvmasum 21172. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.f	|- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
dchrvmasum.g	|- ( m = ( x / d ) -> F = K )
dchrvmasum.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t	|- ( ph -> T e. CC )
dchrvmasum.1	|- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
dchrvmasum.r	|- ( ph -> R e. RR )
dchrvmasum.2	|- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   x, m, .1.   m, d, x, C   F, d, x   m, K   m, N, x   ph, d, m, x   T, d, m, x   R, d, m, x   m, Z, x   D, m, x   L, d, m, x   X, d, m, x

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   F( m)   G( x, m, d)   K( x, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9046	. . 3 |- 1 e. RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		dchrvmasum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
4		elrege0 10963	. . . . . . 7 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
5	3, 4	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6	5	simpld 446	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
7	6	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
8		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
9		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
10		elfznn 11036	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
11	10	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. RR+ )
12		rpdivcl 10590	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ d e. RR+ ) -> ( x / d ) e. RR+ )
13	9, 11, 12	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR+ )
14		relogcl 20426	. . . . . . 7 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
16	9	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
17	15, 16	rerpdivcld 10631	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
18	8, 17	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
19	7, 18	remulcld 9072	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
20		dchrvmasum.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
21		3nn 10090	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
22		nnrp 10577	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
23		relogcl 20426	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( log ` 3 ) e. RR
25	24, 1	readdcli 9059	. . . . 5 |- ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR
26		remulcl 9031	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
27	20, 25, 26	sylancl 644	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
28	27	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
29		rpssre 10578	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
30	6	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
31		o1const 12368	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ C e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O ( 1 ) )
32	29, 30, 31	sylancr 645	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O ( 1 ) )
33		logfacrlim2 20963	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1
34		rlimo1 12365	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1 -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O ( 1 ) )
35	33, 34	mp1i 12	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O ( 1 ) )
36	7, 18, 32, 35	o1mul2 12373	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) e. O ( 1 ) )
37	27	recnd 9070	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC )
38		o1const 12368	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O ( 1 ) )
39	29, 37, 38	sylancr 645	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O ( 1 ) )
40	19, 28, 36, 39	o1add2 12372	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
41	19, 28	readdcld 9071	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. RR )
42		dchrvmasum.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
43	42	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. RR+ F e. CC )
44	43	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. m e. RR+ F e. CC )
45		dchrvmasum.g	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> F = K )
46	45	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( F e. CC <-> K e. CC ) )
47	46	rspcv 3008	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( A. m e. RR+ F e. CC -> K e. CC ) )
48	13, 44, 47	sylc 58	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> K e. CC )
49		dchrvmasum.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
50	49	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
51	48, 50	subcld 9367	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K - T ) e. CC )
52	51	abscld 12193	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. RR )
53	10	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
54	52, 53	nndivred 10004	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
55	8, 54	fsumrecl 12483	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
56	55	recnd 9070	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. CC )
57	53	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
58	51	absge0d 12201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( K - T ) ) )
59	52, 57, 58	divge0d 10640	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
60	8, 54, 59	fsumge0 12529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
61	55, 60	absidd 12180	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
62	61, 55	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. RR )
63	41	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. CC )
64	63	abscld 12193	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
65		3re 10027	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 3 e. RR )
67		1lt3 10100	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
68	1, 65, 67	ltleii 9152	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
69	66, 68	jctir 525	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 3 e. RR /\ 1 <_ 3 ) )
70	20	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R e. RR )
71	1	rexri 9093	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
72	65	rexri 9093	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR*
73		lbico1 10922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR* /\ 3 e. RR* /\ 1 < 3 ) -> 1 e. ( 1 [,) 3 ) )
74	71, 72, 67, 73	mp3an 1279	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 1 [,) 3 )
75		0re 9047	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 e. RR )
77		elico2 10930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) ) )
78	1, 72, 77	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) )
79	78	simp1bi 972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR )
80	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 e. RR )
81	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 e. RR )
82		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < 1 )
84	78	simp2bi 973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 <_ m )
85	80, 81, 79, 83, 84	ltletrd 9186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < m )
86	79, 85	elrpd 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR+ )
87	49	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> T e. CC )
88	42, 87	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( F - T ) e. CC )
89	88	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
90	86, 89	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
91	20	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> R e. RR )
92	88	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
93	86, 92	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
94		dchrvmasum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
95	94	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
96	76, 90, 91, 93, 95	letrd 9183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ R )
97	96	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R )
98		biidd 229	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ R ) )
99	98	rspcv 3008	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R -> 0 <_ R ) )
100	74, 97, 99	mpsyl 61	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ R )
101	100	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ R )
102	70, 101	jca 519	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
103	52	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. CC )
104	6	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. RR )
105	104, 17	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
106	5	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
107		log1 20433	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
108	53	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
109	108	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
110		rpre 10574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
111	110	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
112		fznnfl 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
113	111, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
114	113	simplbda 608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
115	109, 114	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
116	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
117	110	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
118	116, 117, 57	lemuldivd 10649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
119	115, 118	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
120		1rp 10572	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
122	121, 13	logled 20475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ ( x / d ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) ) )
123	119, 122	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) )
124	107, 123	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) )
125		rpregt0 10581	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
126	125	ad2antlr 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
127		divge0 9835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
128	15, 124, 126, 127	syl21anc 1183	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
129		mulge0 9501	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
130	106, 17, 128, 129	syl12anc 1182	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
131		absidm 12082	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - T ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
132	51, 131	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
133	132	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
134		nndivre 9991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
135	111, 10, 134	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
136	135	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. RR )
137		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> 3 <_ ( x / d ) )
138		elicopnf 10956	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) ) )
139	65, 138	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) )
140	136, 137, 139	sylanbrc 646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) )
141		dchrvmasum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
142	141	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
143	142	ad3antrrr 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
144	45	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( F - T ) = ( K - T ) )
145	144	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( abs ` ( F - T ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
146		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( x / d ) ) )
147		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> m = ( x / d ) )
148	146, 147	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( log ` m ) / m ) = ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) )
149	148	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
150	145, 149	breq12d 4185	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
151	150	rspcv 3008	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) -> ( A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
152	140, 143, 151	sylc 58	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
153	15	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. CC )
154		rpcnne0 10585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
155	154	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
156	57	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
157		divdiv2 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
158	153, 155, 156, 157	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
159		div23 9653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
160	153, 108, 155, 159	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
161	158, 160	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
162	161	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
163	30	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
164	17	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. CC )
165	163, 164, 108	mulassd 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
166	162, 165	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
167	166	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
168	152, 167	breqtrd 4196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
169	133, 168	eqbrtrd 4192	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
170	132	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
171	135	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. RR )
172	119	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> 1 <_ ( x / d ) )
173		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) < 3 )
174		elico2 10930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) ) )
175	1, 72, 174	mp2an 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) )
176	171, 172, 173, 175	syl3anbrc 1138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) )
177	94	ad3antrrr 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
178	145	breq1d 4182	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ R <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
179	178	rspcv 3008	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
180	176, 177, 179	sylc 58	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R )
181	170, 180	eqbrtrd 4192	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ R )
182	9, 69, 102, 103, 105, 130, 169, 181	fsumharmonic 20803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
183	30	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
184	8, 183, 164	fsummulc2 12522	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
185	184	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
186	182, 185	breqtrrd 4198	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
187	41	leabsd 12172	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
188	62, 41, 64, 186, 187	letrd 9183	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
189	188	adantrr 698	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
190	2, 40, 41, 56, 189	o1le 12401	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   3c3 10006   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994   ~~> r crli 12234   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736   logclog 20405  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  21146

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784