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Theorem dchrvmasumlem2 20753
Description: Lemma for dchrvmasum 20780. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.f  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
dchrvmasum.g  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
dchrvmasum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrvmasum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dchrvmasum.1  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
dchrvmasum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrvmasum.2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m,  .1.    m, d, x, C    F, d, x    m, K   
m, N, x    ph, d, m, x    T, d, m, x    R, d, m, x   
m, Z, x    D, m, x    L, d, m, x    X, d, m, x
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    F( m)    G( x, m, d)    K( x, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1re 8924 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 dchrvmasum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4 elrege0 10835 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
53, 4sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
65simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
8 fzfid 11124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
9 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
10 elfznn 10908 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
1110nnrpd 10478 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  RR+ )
12 rpdivcl 10465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
x  /  d )  e.  RR+ )
139, 11, 12syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR+ )
14 relogcl 20034 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
169adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
1715, 16rerpdivcld 10506 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  RR )
188, 17fsumrecl 12298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  e.  RR )
197, 18remulcld 8950 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
20 dchrvmasum.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
21 3nn 9967 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
22 nnrp 10452 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
23 relogcl 20034 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( log `  3 )  e.  RR )
2421, 22, 23mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( log `  3 )  e.  RR
2524, 1readdcli 8937 . . . . 5  |-  ( ( log `  3 )  +  1 )  e.  RR
26 remulcl 8909 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( log `  3
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2720, 25, 26sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2827adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
29 rpssre 10453 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
306recnd 8948 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31 o1const 12183 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  C )  e.  O ( 1 ) )
3229, 30, 31sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
33 logfacrlim2 20571 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1
34 rlimo1 12180 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
3533, 34mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
367, 18, 32, 35o1mul2 12188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
3727recnd 8948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  CC )
38 o1const 12183 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3929, 37, 38sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
4019, 28, 36, 39o1add2 12187 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
4119, 28readdcld 8949 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
42 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
4342ralrimiva 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
45 dchrvmasum.g . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
4645eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  e.  CC  <->  K  e.  CC ) )
4746rspcv 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( A. m  e.  RR+  F  e.  CC  ->  K  e.  CC ) )
4813, 44, 47sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  K  e.  CC )
49 dchrvmasum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
5049ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
5148, 50subcld 9244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K  -  T )  e.  CC )
5251abscld 12008 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  RR )
5310adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
5452, 53nndivred 9881 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( K  -  T ) )  / 
d )  e.  RR )
558, 54fsumrecl 12298 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  RR )
5655recnd 8948 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  CC )
5753nnrpd 10478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
5851absge0d 12016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
5952, 57, 58divge0d 10515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
608, 54, 59fsumge0 12344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6155, 60absidd 11995 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6261, 55eqeltrd 2432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  RR )
6341recnd 8948 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
6463abscld 12008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
65 3re 9904 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
6665a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  3  e.  RR )
67 1lt3 9977 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
681, 65, 67ltleii 9028 . . . . . . 7  |-  1  <_  3
6966, 68jctir 524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 3  e.  RR  /\  1  <_  3 ) )
7020adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR )
71 rexr 8964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
721, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
73 rexr 8964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  RR  ->  3  e.  RR* )
7465, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR*
75 lbico1 10795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  3  e.  RR*  /\  1  <  3 )  ->  1  e.  ( 1 [,) 3
) )
7672, 74, 67, 75mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 1 [,) 3
)
77 0re 8925 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
7877a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  e.  RR )
79 elico2 10803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3 ) ) )
801, 74, 79mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3
) )
8180simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR )
8277a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  e.  RR )
831a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  e.  RR )
84 0lt1 9383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  1 )
8680simp2bi 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  <_  m )
8782, 83, 81, 85, 86ltletrd 9063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  m )
8881, 87elrpd 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR+ )
8949adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
9042, 89subcld 9244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( F  -  T )  e.  CC )
9190abscld 12008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( F  -  T
) )  e.  RR )
9288, 91sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  e.  RR )
9320adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  R  e.  RR )
9490absge0d 12016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T ) ) )
9588, 94sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T )
) )
96 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
9796r19.21bi 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  R )
9878, 92, 93, 95, 97letrd 9060 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  R )
9998ralrimiva 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) 0  <_  R )
100 biidd 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
0  <_  R  <->  0  <_  R ) )
101100rspcv 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) 0  <_  R  ->  0  <_  R ) )
10276, 99, 101mpsyl 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
103102adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  R )
10470, 103jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
10552recnd 8948 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  CC )
1066ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
107106, 17remulcld 8950 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
1085ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
109 log1 20041 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
11053nncnd 9849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
111110mulid2d 8940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
112 rpre 10449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
114 fznnfl 11055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
116115simplbda 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x )
117111, 116eqbrtrd 4122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x )
1181a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
119112ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
120118, 119, 57lemuldivd 10524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  d )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
121117, 120mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
122 1rp 10447 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
123122a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
124123, 13logled 20083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  <_  ( x  / 
d )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) ) )
125121, 124mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) )
126109, 125syl5eqbrr 4136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  ( x  /  d ) ) )
127 rpregt0 10456 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
128127ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
129 divge0 9712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  (
x  /  d ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
13015, 126, 128, 129syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
131 mulge0 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
) ) )  -> 
0  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
132108, 17, 130, 131syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) ) )
133 absidm 11897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  T )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
13451, 133syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
135134adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
136 nndivre 9868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
137113, 10, 136syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
138137adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
139 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  3  <_  ( x  /  d ) )
140 elicopnf 10828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 3 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_  ( x  /  d
) ) ) )
14165, 140ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_  ( x  /  d
) ) )
142138, 139, 141sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  ( 3 [,)  +oo ) )
143 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
144143ralrimiva 2702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 3 [,)  +oo )
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
145144ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  A. m  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
14645oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  -  T )  =  ( K  -  T ) )
147146fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  =  ( abs `  ( K  -  T )
) )
148 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
x  /  d ) ) )
149 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  m  =  ( x  / 
d ) )
150148, 149oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( log `  m
)  /  m )  =  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  (
x  /  d ) ) )
151150oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  =  ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) )
152147, 151breq12d 4115 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  <->  ( abs `  ( K  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) ) )
153152rspcv 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) 
+oo )  ->  ( A. m  e.  (
3 [,)  +oo ) ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) ) )
154142, 145, 153sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) )
15515recnd 8948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  CC )
156 rpcnne0 10460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
157156ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
158 rpcnne0 10460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
15957, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
160 divdiv2 9559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
161155, 157, 159, 160syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
162 div23 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
163155, 110, 157, 162syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  x.  d ) )
164161, 163eqtrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
165164oveq2d 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
16630ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
16717recnd 8948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  CC )
168166, 167, 110mulassd 8945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x ) )  x.  d )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
169165, 168eqtr4d 2393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
170169adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
171154, 170breqtrd 4126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
172135, 171eqbrtrd 4122 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
173134adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
174137adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
175121adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
176 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  <  3 )
177 elico2 10803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( ( x  / 
d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d )  /\  ( x  /  d
)  <  3 ) ) )
1781, 74, 177mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
)  /\  ( x  /  d )  <  3 ) )
179174, 175, 176, 178syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3
) )
18096ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3
) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
181147breq1d 4112 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  <->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
) )
182181rspcv 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  ->  ( abs `  ( K  -  T ) )  <_  R ) )
183179, 180, 182sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
)
184173, 183eqbrtrd 4122 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  R
)
1859, 69, 104, 105, 107, 132, 172, 184fsumharmonic 20411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) ) ) )
18630adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
1878, 186, 167fsummulc2 12337 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
188187oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
189185, 188breqtrrd 4128 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
19041leabsd 11987 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
19162, 41, 64, 189, 190letrd 9060 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
192191adantrr 697 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
1932, 40, 41, 56, 192o1le 12216 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    +oocpnf 8951   RR*cxr 8953    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124    / cdiv 9510   NNcn 9833   3c3 9883   RR+crp 10443   [,)cico 10747   ...cfz 10871   |_cfl 11013   abscabs 11809    ~~> r crli 12049   O ( 1 )co1 12050   sum_csu 12249   Basecbs 13239   0gc0g 13493   ZRHomczrh 16551  ℤ/nczn 16554   logclog 20013  DChrcdchr 20577
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  20754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428  df-shft 11652  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-limsup 12035  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-o1 12054  df-lo1 12055  df-sum 12250  df-ef 12440  df-e 12441  df-sin 12442  df-cos 12443  df-pi 12445  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-cmp 17214  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-log 20015  df-cxp 20016  df-em 20392
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