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Theorem dcubic 20717
Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 20720. (The definitions of  M ,  N ,  G ,  T here differ from mcubic 20718 by scale factors of  -u 9,  5 4,  5 4 and  -u 2
7 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
dcubic  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, r    P, r    ph, r    Q, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    G( r)    N( r)

Proof of Theorem dcubic
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dcubic.0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
21adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  =/=  0 )
3 dcubic.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
43adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  e.  CC )
5 3nn 10165 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
65nnzi 10336 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
7 expne0i 11443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 )
86, 7mp3an3 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =/=  0 )
98ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
104, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
11 dcubic.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
13 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  e.  CC )
15 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
1615ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
17 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
1817ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
19 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  X  = 
0 )
2019oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  ( P  x.  0 ) )
21 dcubic.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2221ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  P  e.  CC )
2322mul01d 9296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  0 )  =  0 )
2420, 23eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  0 )
2524oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  ( 0  +  Q ) )
2619oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
27 0exp 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
285, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2926, 28syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  0 )
3029oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
31 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
32 0cn 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  0  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  e.  CC )
35 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
3635ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  e.  CC )
3734, 36addcld 9138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  e.  CC )
3837addid2d 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )
3930, 31, 383eqtr3rd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  0 )
4036addid2d 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  Q )  =  Q )
4125, 39, 403eqtr3rd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  = 
0 )
4241oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
43 2cn 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
44 2ne0 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
4543, 44div0i 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  2 )  =  0
4642, 45syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  0 )
4718, 46eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  = 
0 )
4847sq0id 11506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
49 dcubic.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
50 3cn 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
52 3ne0 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  =/=  0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
5421, 51, 53divcld 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
5549, 54eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
5655ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  e.  CC )
57 4cn 10105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  e.  CC
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  e.  CC )
59 4nn 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  NN
6059nnne0i 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  =/=  0
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  =/=  0 )
6219sq0id 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 2 )  =  0 )
6362oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  ( 0  +  ( 4  x.  M ) ) )
64 dcubic.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6564sqcld 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
66 mulcl 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6757, 55, 66sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6865, 67addcld 9138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  e.  CC )
6968ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  e.  CC )
70 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )
7169, 70sqr00d 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  0 )
7267ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  e.  CC )
7372addid2d 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( 4  x.  M
) )
7463, 71, 733eqtr3rd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  0 )
7557mul01i 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
7674, 75syl6eqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  ( 4  x.  0 ) )
7756, 33, 58, 61, 76mulcanad 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  = 
0 )
7877oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
7978, 28syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  0 )
8048, 79oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
81 00id 9272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8280, 81syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  0 )
8316, 82eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  0 )
8414, 83sqeq0d 11553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  = 
0 )
8584, 47oveq12d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  ( 0  -  0 ) )
8632subidi 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  0 )  =  0
8785, 86syl6eq 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  0 )
8812, 87eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  0 )
8988ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =  0 ) )
9089necon3ad 2643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( T ^ 3 )  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
9110, 90syld 43 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
922, 91mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
93 oveq12 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  +  0 ) )
9493, 81syl6eq 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
95 oveq12 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  -  0 ) )
9695, 86syl6eq 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
9794, 96jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 ) )
9868sqrcld 12270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )
99 halfaddsub 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
10064, 98, 99syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
101100simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  X )
102101eqeq1d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  X  = 
0 ) )
103100simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  -  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )
104103eqeq1d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
105102, 104anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0 )  <->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 ) ) )
10697, 105syl5ib 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0 )  ->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
107106con3d 128 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  -.  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
108 eldifi 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  e.  CC )
109108adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  e.  CC )
11055adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  M  e.  CC )
111 eldifsni 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  =/=  0
)
112111adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  =/=  0 )
113110, 109, 112divcld 9821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  /  u
)  e.  CC )
11464adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  X  e.  CC )
115109, 113, 114subaddd 9460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  -  ( M  /  u
) )  =  X  <-> 
( ( M  /  u )  +  X
)  =  u ) )
116 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( u  -  ( M  /  u ) )  =  X )
117 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( M  /  u )  +  X )  <->  ( ( M  /  u )  +  X )  =  u )
118115, 116, 1173bitr4g 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
119109sqcld 11552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  e.  CC )
120114, 109mulcld 9139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  x.  u
)  e.  CC )
121120, 110addcld 9138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  e.  CC )
122119, 121subeq0ad 9452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u ^ 2 )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
123109sqvald 11551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
124113, 114, 109adddird 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  +  X )  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  x.  u )  +  ( X  x.  u ) ) )
125110, 109, 112divcan1d 9822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  x.  u
)  =  M )
126125oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  x.  u )  +  ( X  x.  u ) )  =  ( M  +  ( X  x.  u ) ) )
127110, 120addcomd 9299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  +  ( X  x.  u ) )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) )
128124, 126, 1273eqtrrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) )
129123, 128eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  =  ( ( X  x.  u
)  +  M )  <-> 
( u  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) ) )
130113, 114addcld 9138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  +  X
)  e.  CC )
131109, 130, 109, 112mulcan2d 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  x.  u )  =  ( ( ( M  /  u )  +  X
)  x.  u )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
132122, 129, 1313bitrd 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
133 ax-1cn 9079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
135 ax-1ne0 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  =/=  0 )
13764negcld 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  CC )
138137adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u X  e.  CC )
13955negcld 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  CC )
140139adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u M  e.  CC )
141 sqneg 11473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  CC  ->  ( -u X ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
142114, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X ^ 2 )  =  ( X ^ 2 ) )
143140mulid2d 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  -u M
)  =  -u M
)
144143oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  ( 4  x.  -u M
) )
145 mulneg2 9502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
14657, 110, 145sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
147144, 146eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  -u ( 4  x.  M
) )
148142, 147oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
1  x.  -u M
) ) )  =  ( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) ) )
14965adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X ^ 2 )  e.  CC )
15067adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  M
)  e.  CC )
151149, 150subnegd 9449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )
152148, 151eqtr2d 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( (
-u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( 1  x.  -u M ) ) ) )
153134, 136, 138, 140, 109, 152quad 20711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) ) ) )
154119mulid2d 9137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  (
u ^ 2 ) )  =  ( u ^ 2 ) )
155114, 109mulneg1d 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X  x.  u
)  =  -u ( X  x.  u )
)
156155oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  (
-u ( X  x.  u )  +  -u M ) )
157120, 110negdid 9455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( -u ( X  x.  u
)  +  -u M
) )
158156, 157eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )
159154, 158oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) ) )
160119, 121negsubd 9448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
161159, 160eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  -  (
( X  x.  u
)  +  M ) ) )
162161eqeq1d 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0 ) )
163114negnegd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u -u X  =  X
)
164163oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  =  ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
16543mulid1i 9123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
167164, 166oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
168167eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) )
169163oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  =  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
170169, 166oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
171170eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) )
172168, 171orbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) )  <->  ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) ) )
173153, 162, 1723bitr3d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
174118, 132, 1733bitr2d 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
175174rexbidva 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) ) )
176 r19.43 2869 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  <-> 
( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) )
177175, 176syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) ) ) )
178 risset 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) )
17964, 98addcld 9138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  e.  CC )
180179halfcld 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
181 eldifsn 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
182181baib 873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
183180, 182syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
184178, 183syl5bbr 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
185 risset 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )
18664, 98subcld 9442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  e.  CC )
187186halfcld 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
188 eldifsn 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
189188baib 873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
190187, 189syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
191185, 190syl5bbr 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
192184, 191orbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  ( (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) ) )
193 neorian 2697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) )
194192, 193syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
195177, 194bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
196107, 195sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) ) )
197196imp 420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) )
19892, 197syldan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
19921ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
20035ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
20164ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
2023ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
20311ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
20413ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
20515ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
20649ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  M  =  ( P  / 
3 ) )
20717ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  / 
2 ) )
2081ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
209108ad2antrl 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  e.  CC )
210111ad2antrl 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  =/=  0 )
211 simprr 735 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
212 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )
213199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212dcubic2 20715 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
214198, 213rexlimddv 2840 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
215214ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
21621ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
21735ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
21864ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
219 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  e.  CC )
2203ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
221219, 220mulcld 9139 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  e.  CC )
222 3nn0 10270 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
223222a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  3  e.  NN0 )
224219, 220, 223mulexpd 11569 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( ( r ^
3 )  x.  ( T ^ 3 ) ) )
225 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =  1 )
226225oveq1d 6125 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r ^ 3 )  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) ) )
227 expcl 11430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 3 )  e.  CC )
2283, 222, 227sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  e.  CC )
229228mulid2d 9137 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( T ^
3 ) )
230229, 11eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( G  -  N ) )
231230ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( G  -  N
) )
232224, 226, 2313eqtrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
23313ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
23415ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
23549ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  M  =  ( P  /  3
) )
23617ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
237135a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  1  =/=  0 )
238225, 237eqnetrd 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =/=  0 )
239 oveq1 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
240239, 28syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
241240necon3i 2649 . . . . . . 7  |-  ( ( r ^ 3 )  =/=  0  ->  r  =/=  0 )
242238, 241syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  =/=  0 )
2431ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
244219, 220, 242, 243mulne0d 9705 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  =/=  0
)
245 simprr 735 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )
246216, 217, 218, 221, 232, 233, 234, 235, 236, 244, 245dcubic1 20716 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
247246ex 425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
248247rexlimdva 2836 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
249215, 248impbid 185 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   E.wrex 2712    \ cdif 3303   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    - cmin 9322   -ucneg 9323    / cdiv 9708   NNcn 10031   2c2 10080   3c3 10081   4c4 10082   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   ^cexp 11413   sqrcsqr 12069
This theorem is referenced by:  mcubic  20718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-dvds 12884
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