MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Unicode version

Theorem dec2dvds 13072
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec2dvds.2  |-  B  e. 
NN0
dec2dvds.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
dec2dvds.4  |-  D  =  ( C  +  1 )
Assertion
Ref Expression
dec2dvds  |-  -.  2  || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 9980 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
21nn0zi 10043 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
3 2z 10049 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
4 dvdsmul2 12545 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 5  x.  2 ) )
52, 3, 4mp2an 655 . . . . . . 7  |-  2  ||  ( 5  x.  2 )
6 5t2e10 9870 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
75, 6breqtri 4047 . . . . . 6  |-  2  ||  10
8 10nn0 9985 . . . . . . . 8  |-  10  e.  NN0
98nn0zi 10043 . . . . . . 7  |-  10  e.  ZZ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
1110nn0zi 10043 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
12 dvdsmultr1 12557 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  10  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  10  ->  2 
||  ( 10  x.  A ) ) )
133, 9, 11, 12mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  10  ->  2  ||  ( 10  x.  A
) )
147, 13ax-mp 10 . . . . 5  |-  2  ||  ( 10  x.  A
)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
NN0
1615nn0zi 10043 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
17 dvdsmul2 12545 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( B  x.  2 ) )
1816, 3, 17mp2an 655 . . . . . 6  |-  2  ||  ( B  x.  2 )
19 dec2dvds.3 . . . . . 6  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19breqtri 4047 . . . . 5  |-  2  ||  C
218, 10nn0mulcli 9997 . . . . . . 7  |-  ( 10  x.  A )  e. 
NN0
2221nn0zi 10043 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  A )  e.  ZZ
23 2nn0 9977 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2415, 23nn0mulcli 9997 . . . . . . . 8  |-  ( B  x.  2 )  e. 
NN0
2519, 24eqeltrri 2355 . . . . . . 7  |-  C  e. 
NN0
2625nn0zi 10043 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
27 dvds2add 12554 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 10  x.  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A
)  /\  2  ||  C )  ->  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
) ) )
283, 22, 26, 27mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A )  /\  2  ||  C )  -> 
2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C ) )
2914, 20, 28mp2an 655 . . . 4  |-  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
30 df-dec 10120 . . . 4  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
3129, 30breqtrri 4049 . . 3  |-  2  || ; A C
3210, 25deccl 10133 . . . . 5  |- ; A C  e.  NN0
3332nn0zi 10043 . . . 4  |- ; A C  e.  ZZ
34 2nn 9872 . . . 4  |-  2  e.  NN
35 1lt2 9881 . . . 4  |-  1  <  2
36 ndvdsp1 12602 . . . 4  |-  ( (; A C  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  || ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1 ) ) )
3733, 34, 35, 36mp3an 1279 . . 3  |-  ( 2 
|| ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1
) )
3831, 37ax-mp 10 . 2  |-  -.  2  ||  (; A C  +  1
)
39 dec2dvds.4 . . . . 5  |-  D  =  ( C  +  1 )
4039eqcomi 2288 . . . 4  |-  ( C  +  1 )  =  D
41 eqid 2284 . . . 4  |- ; A C  = ; A C
4210, 25, 40, 41decsuc 10142 . . 3  |-  (; A C  +  1 )  = ; A D
4342breq2i 4032 . 2  |-  ( 2 
||  (; A C  +  1 )  <->  2  || ; A D )
4438, 43mtbi 291 1  |-  -.  2  || ; A D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4024  (class class class)co 5819   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862   NNcn 9741   2c2 9790   5c5 9793   10c10 9798   NN0cn0 9960   ZZcz 10019  ;cdc 10119    || cdivides 12525
This theorem is referenced by:  11prm  13110  13prm  13111  17prm  13112  19prm  13113  23prm  13114  37prm  13116  43prm  13117  83prm  13118  139prm  13119  163prm  13120  317prm  13121  631prm  13122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-rp 10350  df-fz 10777  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-dvds 12526
  Copyright terms: Public domain W3C validator