MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Unicode version

Theorem dec2dvds 13078
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec2dvds.2  |-  B  e. 
NN0
dec2dvds.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
dec2dvds.4  |-  D  =  ( C  +  1 )
Assertion
Ref Expression
dec2dvds  |-  -.  2  || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 9985 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
21nn0zi 10048 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
3 2z 10054 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
4 dvdsmul2 12551 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 5  x.  2 ) )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . . 7  |-  2  ||  ( 5  x.  2 )
6 5t2e10 9875 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
75, 6breqtri 4046 . . . . . 6  |-  2  ||  10
8 10nn0 9990 . . . . . . . 8  |-  10  e.  NN0
98nn0zi 10048 . . . . . . 7  |-  10  e.  ZZ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
1110nn0zi 10048 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
12 dvdsmultr1 12563 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  10  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  10  ->  2 
||  ( 10  x.  A ) ) )
133, 9, 11, 12mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  10  ->  2  ||  ( 10  x.  A
) )
147, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  2  ||  ( 10  x.  A
)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
NN0
1615nn0zi 10048 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
17 dvdsmul2 12551 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( B  x.  2 ) )
1816, 3, 17mp2an 653 . . . . . 6  |-  2  ||  ( B  x.  2 )
19 dec2dvds.3 . . . . . 6  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19breqtri 4046 . . . . 5  |-  2  ||  C
218, 10nn0mulcli 10002 . . . . . . 7  |-  ( 10  x.  A )  e. 
NN0
2221nn0zi 10048 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  A )  e.  ZZ
23 2nn0 9982 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2415, 23nn0mulcli 10002 . . . . . . . 8  |-  ( B  x.  2 )  e. 
NN0
2519, 24eqeltrri 2354 . . . . . . 7  |-  C  e. 
NN0
2625nn0zi 10048 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
27 dvds2add 12560 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 10  x.  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A
)  /\  2  ||  C )  ->  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
) ) )
283, 22, 26, 27mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A )  /\  2  ||  C )  -> 
2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C ) )
2914, 20, 28mp2an 653 . . . 4  |-  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
30 df-dec 10125 . . . 4  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
3129, 30breqtrri 4048 . . 3  |-  2  || ; A C
3210, 25deccl 10138 . . . . 5  |- ; A C  e.  NN0
3332nn0zi 10048 . . . 4  |- ; A C  e.  ZZ
34 2nn 9877 . . . 4  |-  2  e.  NN
35 1lt2 9886 . . . 4  |-  1  <  2
36 ndvdsp1 12608 . . . 4  |-  ( (; A C  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  || ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1 ) ) )
3733, 34, 35, 36mp3an 1277 . . 3  |-  ( 2 
|| ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1
) )
3831, 37ax-mp 8 . 2  |-  -.  2  ||  (; A C  +  1
)
39 dec2dvds.4 . . . . 5  |-  D  =  ( C  +  1 )
4039eqcomi 2287 . . . 4  |-  ( C  +  1 )  =  D
41 eqid 2283 . . . 4  |- ; A C  = ; A C
4210, 25, 40, 41decsuc 10147 . . 3  |-  (; A C  +  1 )  = ; A D
4342breq2i 4031 . 2  |-  ( 2 
||  (; A C  +  1 )  <->  2  || ; A D )
4438, 43mtbi 289 1  |-  -.  2  || ; A D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867   NNcn 9746   2c2 9795   5c5 9798   10c10 9803   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ;cdc 10124    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  11prm  13116  13prm  13117  17prm  13118  19prm  13119  23prm  13120  37prm  13122  43prm  13123  83prm  13124  139prm  13125  163prm  13126  317prm  13127  631prm  13128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator