MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2nprm Unicode version

Theorem dec2nprm 13084
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2nprm.1  |-  A  e.  NN
dec2nprm.2  |-  B  e. 
NN0
dec2nprm.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
Assertion
Ref Expression
dec2nprm  |-  -. ; A C  e.  Prime

Proof of Theorem dec2nprm
StepHypRef Expression
1 5nn 9882 . . . 4  |-  5  e.  NN
2 dec2nprm.1 . . . 4  |-  A  e.  NN
31, 2nnmulcli 9772 . . 3  |-  ( 5  x.  A )  e.  NN
4 dec2nprm.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 nnnn0addcl 9997 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( 5  x.  A )  +  B
)  e.  NN )
63, 4, 5mp2an 653 . 2  |-  ( ( 5  x.  A )  +  B )  e.  NN
7 2nn 9879 . 2  |-  2  e.  NN
8 1nn0 9983 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 1lt5 9897 . . 3  |-  1  <  5
101, 2, 4, 8, 9numlti 10150 . 2  |-  1  <  ( ( 5  x.  A )  +  B
)
11 1lt2 9888 . 2  |-  1  <  2
121nncni 9758 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
132nncni 9758 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
14 2cn 9818 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
1512, 13, 14mul32i 9010 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  =  ( ( 5  x.  2 )  x.  A
)
16 5t2e10 9877 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1716oveq1i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
1815, 17eqtri 2305 . . . 4  |-  ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  =  ( 10  x.  A
)
19 dec2nprm.3 . . . 4  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19oveq12i 5872 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  x.  2 )  +  ( B  x.  2 ) )  =  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
213nncni 9758 . . . 4  |-  ( 5  x.  A )  e.  CC
224nn0cni 9979 . . . 4  |-  B  e.  CC
2321, 22, 14adddiri 8850 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  +  B )  x.  2 )  =  ( ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  +  ( B  x.  2 ) )
24 df-dec 10127 . . 3  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
2520, 23, 243eqtr4i 2315 . 2  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  +  B )  x.  2 )  = ; A C
266, 7, 10, 11, 25nprmi 12775 1  |-  -. ; A C  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1625    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744   NNcn 9748   2c2 9797   5c5 9800   10c10 9805   NN0cn0 9967  ;cdc 10126   Primecprime 12760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-dvds 12534  df-prm 12761
  Copyright terms: Public domain W3C validator