MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2nprm Unicode version

Theorem dec2nprm 13391
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2nprm.1  |-  A  e.  NN
dec2nprm.2  |-  B  e. 
NN0
dec2nprm.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
Assertion
Ref Expression
dec2nprm  |-  -. ; A C  e.  Prime

Proof of Theorem dec2nprm
StepHypRef Expression
1 5nn 10125 . . . 4  |-  5  e.  NN
2 dec2nprm.1 . . . 4  |-  A  e.  NN
31, 2nnmulcli 10013 . . 3  |-  ( 5  x.  A )  e.  NN
4 dec2nprm.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 nnnn0addcl 10240 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( 5  x.  A )  +  B
)  e.  NN )
63, 4, 5mp2an 654 . 2  |-  ( ( 5  x.  A )  +  B )  e.  NN
7 2nn 10122 . 2  |-  2  e.  NN
8 1nn0 10226 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 1lt5 10140 . . 3  |-  1  <  5
101, 2, 4, 8, 9numlti 10395 . 2  |-  1  <  ( ( 5  x.  A )  +  B
)
11 1lt2 10131 . 2  |-  1  <  2
121nncni 9999 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
132nncni 9999 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
14 2cn 10059 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
1512, 13, 14mul32i 9251 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  =  ( ( 5  x.  2 )  x.  A
)
16 5t2e10 10120 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1716oveq1i 6082 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
1815, 17eqtri 2455 . . . 4  |-  ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  =  ( 10  x.  A
)
19 dec2nprm.3 . . . 4  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19oveq12i 6084 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  x.  2 )  +  ( B  x.  2 ) )  =  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
213nncni 9999 . . . 4  |-  ( 5  x.  A )  e.  CC
224nn0cni 10222 . . . 4  |-  B  e.  CC
2321, 22, 14adddiri 9090 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  +  B )  x.  2 )  =  ( ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  +  ( B  x.  2 ) )
24 df-dec 10372 . . 3  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
2520, 23, 243eqtr4i 2465 . 2  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  +  B )  x.  2 )  = ; A C
266, 7, 10, 11, 25nprmi 13082 1  |-  -. ; A C  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6072   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984   NNcn 9989   2c2 10038   5c5 10041   10c10 10046   NN0cn0 10210  ;cdc 10371   Primecprime 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-dvds 12841  df-prm 13068
  Copyright terms: Public domain W3C validator