MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2nprm Unicode version

Theorem dec2nprm 13078
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2nprm.1  |-  A  e.  NN
dec2nprm.2  |-  B  e. 
NN0
dec2nprm.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
Assertion
Ref Expression
dec2nprm  |-  -. ; A C  e.  Prime

Proof of Theorem dec2nprm
StepHypRef Expression
1 5nn 9876 . . . 4  |-  5  e.  NN
2 dec2nprm.1 . . . 4  |-  A  e.  NN
31, 2nnmulcli 9766 . . 3  |-  ( 5  x.  A )  e.  NN
4 dec2nprm.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 nnnn0addcl 9991 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( 5  x.  A )  +  B
)  e.  NN )
63, 4, 5mp2an 653 . 2  |-  ( ( 5  x.  A )  +  B )  e.  NN
7 2nn 9873 . 2  |-  2  e.  NN
8 1nn0 9977 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 1lt5 9891 . . 3  |-  1  <  5
101, 2, 4, 8, 9numlti 10144 . 2  |-  1  <  ( ( 5  x.  A )  +  B
)
11 1lt2 9882 . 2  |-  1  <  2
121nncni 9752 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
132nncni 9752 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
14 2cn 9812 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
1512, 13, 14mul32i 9004 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  =  ( ( 5  x.  2 )  x.  A
)
16 5t2e10 9871 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1716oveq1i 5830 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
1815, 17eqtri 2304 . . . 4  |-  ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  =  ( 10  x.  A
)
19 dec2nprm.3 . . . 4  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19oveq12i 5832 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  x.  2 )  +  ( B  x.  2 ) )  =  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
213nncni 9752 . . . 4  |-  ( 5  x.  A )  e.  CC
224nn0cni 9973 . . . 4  |-  B  e.  CC
2321, 22, 14adddiri 8844 . . 3  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  +  B )  x.  2 )  =  ( ( ( 5  x.  A )  x.  2 )  +  ( B  x.  2 ) )
24 df-dec 10121 . . 3  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
2520, 23, 243eqtr4i 2314 . 2  |-  ( ( ( 5  x.  A
)  +  B )  x.  2 )  = ; A C
266, 7, 10, 11, 25nprmi 12769 1  |-  -. ; A C  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1685  (class class class)co 5820   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738   NNcn 9742   2c2 9791   5c5 9794   10c10 9799   NN0cn0 9961  ;cdc 10120   Primecprime 12754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-dvds 12528  df-prm 12755
  Copyright terms: Public domain W3C validator