MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decadd Unicode version

Theorem decadd 10355
Description: Add two numerals  M and  N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decadd.7  |-  ( A  +  C )  =  E
decadd.8  |-  ( B  +  D )  =  F
Assertion
Ref Expression
decadd  |-  ( M  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decadd
StepHypRef Expression
1 10nn0 10178 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10315 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2407 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10315 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2407 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decadd.7 . . 3  |-  ( A  +  C )  =  E
13 decadd.8 . . 3  |-  ( B  +  D )  =  F
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13numadd 10348 . 2  |-  ( M  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
15 df-dec 10315 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
1614, 15eqtr4i 2410 1  |-  ( M  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6020    + caddc 8926    x. cmul 8928   10c10 9989   NN0cn0 10153  ;cdc 10314
This theorem is referenced by:  decaddi  10358  10p10e20  10384  dec5dvds2  13328  2exp16  13351  37prm  13370  43prm  13371  317prm  13375  631prm  13376  1259lem1  13377  1259lem2  13378  1259lem3  13379  1259lem4  13380  2503lem1  13383  2503lem2  13384  4001lem1  13387  4001lem2  13388  4001lem3  13389  log2ublem3  20655  log2ub  20656  1kp2ke3k  21602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-dec 10315
  Copyright terms: Public domain W3C validator