MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddc Unicode version

Theorem decaddc 10168
Description: Add two numerals  M and  N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decaddc.8  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
decaddc.7  |-  F  e. 
NN0
decaddc.9  |-  ( B  +  D )  = ; 1 F
Assertion
Ref Expression
decaddc  |-  ( M  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decaddc
StepHypRef Expression
1 10nn0 9992 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10127 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2305 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10127 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2305 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decaddc.7 . . 3  |-  F  e. 
NN0
13 decaddc.8 . . 3  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
14 decaddc.9 . . . 4  |-  ( B  +  D )  = ; 1 F
15 df-dec 10127 . . . 4  |- ; 1 F  =  ( ( 10  x.  1 )  +  F )
1614, 15eqtri 2305 . . 3  |-  ( B  +  D )  =  ( ( 10  x.  1 )  +  F
)
171, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16numaddc 10161 . 2  |-  ( M  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
18 df-dec 10127 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
1917, 18eqtr4i 2308 1  |-  ( M  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744   10c10 9805   NN0cn0 9967  ;cdc 10126
This theorem is referenced by:  decaddc2  10169  decaddci  10171  2exp16  13105  prmlem2  13123  37prm  13124  1259lem1  13131  1259lem4  13134  2503lem2  13138  4001lem1  13141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874  df-sub 9041  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-dec 10127
  Copyright terms: Public domain W3C validator