MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Unicode version

Theorem deccl 10134
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1  |-  A  e. 
NN0
deccl.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
deccl  |- ; A B  e.  NN0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10121 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 9986 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 deccl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 deccl.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10131 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2355 1  |- ; A B  e.  NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1685  (class class class)co 5820    + caddc 8736    x. cmul 8738   10c10 9799   NN0cn0 9961  ;cdc 10120
This theorem is referenced by:  dec2dvds  13073  dec5dvds2  13075  2exp6  13096  2exp8  13097  2exp16  13098  prmlem2  13116  37prm  13117  43prm  13118  83prm  13119  139prm  13120  163prm  13121  317prm  13122  631prm  13123  1259lem1  13124  1259lem2  13125  1259lem3  13126  1259lem4  13127  1259lem5  13128  1259prm  13129  2503lem1  13130  2503lem2  13131  2503lem3  13132  2503prm  13133  4001lem1  13134  4001lem2  13135  4001lem3  13136  4001lem4  13137  4001prm  13138  tnglem  18151  quart1cl  20145  quart1lem  20146  quart1  20147  log2ublem3  20239  log2ub  20240  birthday  20244  bpos1  20517  bpos  20527  1kp2ke3k  20809  kur14lem9  23150  bpoly4  24202  fsumcube  24203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-dec 10121
  Copyright terms: Public domain W3C validator