MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Unicode version

Theorem deccl 10289
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1  |-  A  e. 
NN0
deccl.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
deccl  |- ; A B  e.  NN0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10276 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10139 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 deccl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 deccl.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10286 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2436 1  |- ; A B  e.  NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1715  (class class class)co 5981    + caddc 8887    x. cmul 8889   10c10 9950   NN0cn0 10114  ;cdc 10275
This theorem is referenced by:  dec2dvds  13286  dec5dvds2  13288  2exp6  13309  2exp8  13310  2exp16  13311  prmlem2  13329  37prm  13330  43prm  13331  83prm  13332  139prm  13333  163prm  13334  317prm  13335  631prm  13336  1259lem1  13337  1259lem2  13338  1259lem3  13339  1259lem4  13340  1259lem5  13341  1259prm  13342  2503lem1  13343  2503lem2  13344  2503lem3  13345  2503prm  13346  4001lem1  13347  4001lem2  13348  4001lem3  13349  4001lem4  13350  4001prm  13351  tnglem  18369  quart1cl  20372  quart1lem  20373  quart1  20374  log2ublem3  20466  log2ub  20467  birthday  20471  bpos1  20745  bpos  20755  1kp2ke3k  21144  log2le1  23872  kur14lem9  24348  bpoly4  25536  fsumcube  25537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-dec 10276
  Copyright terms: Public domain W3C validator