MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma Unicode version

Theorem decma 10313
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decma.7  |-  P  e. 
NN0
decma.8  |-  ( ( A  x.  P )  +  C )  =  E
decma.9  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  =  F
Assertion
Ref Expression
decma  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decma
StepHypRef Expression
1 10nn0 10139 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10276 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2386 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10276 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2386 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decma.7 . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decma.8 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  C )  =  E
14 decma.9 . . 3  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  =  F
151, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14numma 10306 . 2  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
16 df-dec 10276 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
1715, 16eqtr4i 2389 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1647    e. wcel 1715  (class class class)co 5981    + caddc 8887    x. cmul 8889   10c10 9950   NN0cn0 10114  ;cdc 10275
This theorem is referenced by:  2503lem2  13344  4001lem1  13347  4001lem2  13348  4001lem3  13349  log2ub  20467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-dec 10276
  Copyright terms: Public domain W3C validator