MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Unicode version

Theorem decma2c 10406
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decma2c.7  |-  P  e. 
NN0
decma2c.8  |-  F  e. 
NN0
decma2c.9  |-  G  e. 
NN0
decma2c.10  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
decma2c.11  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decma2c  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10230 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10367 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2450 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10367 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2450 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decma2c.7 . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decma2c.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
14 decma2c.9 . . 3  |-  G  e. 
NN0
15 decma2c.10 . . 3  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
16 decma2c.11 . . . 4  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
17 df-dec 10367 . . . 4  |- ; G F  =  ( ( 10  x.  G
)  +  F )
1816, 17eqtri 2450 . . 3  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  =  ( ( 10  x.  G )  +  F
)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 10399 . 2  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
20 df-dec 10367 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
2119, 20eqtr4i 2453 1  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6067    + caddc 8977    x. cmul 8979   10c10 10041   NN0cn0 10205  ;cdc 10366
This theorem is referenced by:  2exp16  13407  43prm  13427  83prm  13428  139prm  13429  163prm  13430  317prm  13431  631prm  13432  1259lem1  13433  1259lem2  13434  1259lem3  13435  1259lem4  13436  1259lem5  13437  2503lem1  13439  2503lem2  13440  2503lem3  13441  2503prm  13442  4001lem1  13443  4001lem2  13444  4001lem3  13445  4001lem4  13446  4001prm  13447  log2ublem3  20771  log2ub  20772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-ltxr 9109  df-sub 9277  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-dec 10367
  Copyright terms: Public domain W3C validator