MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1c Unicode version

Theorem decmul1c 10167
Description: The product of a numeral with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1c.1  |-  P  e. 
NN0
decmul1c.2  |-  A  e. 
NN0
decmul1c.3  |-  B  e. 
NN0
decmul1c.4  |-  N  = ; A B
decmul1c.5  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.6  |-  E  e. 
NN0
decmul1c.7  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
decmul1c.8  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul1c  |-  ( N  x.  P )  = ; C D

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 9986 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decmul1c.1 . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1c.2 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1c.3 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1c.4 . . . 4  |-  N  = ; A B
6 df-dec 10121 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2304 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
8 decmul1c.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.6 . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul1c.7 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
11 decmul1c.8 . . . 4  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
12 df-dec 10121 . . . 4  |- ; E D  =  ( ( 10  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2304 . . 3  |-  ( B  x.  P )  =  ( ( 10  x.  E )  +  D
)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 10156 . 2  |-  ( N  x.  P )  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
15 df-dec 10121 . 2  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2307 1  |-  ( N  x.  P )  = ; C D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1685  (class class class)co 5820    + caddc 8736    x. cmul 8738   10c10 9799   NN0cn0 9961  ;cdc 10120
This theorem is referenced by:  2exp6  13097  2exp8  13098  2exp16  13099  prmlem2  13117  37prm  13118  631prm  13124  1259lem1  13125  1259lem2  13126  1259lem3  13127  1259lem4  13128  1259prm  13130  2503lem1  13131  2503lem2  13132  2503prm  13134  4001lem1  13135  4001lem2  13136  4001lem3  13137  4001prm  13139  log2ublem3  20240  log2ub  20241  bpos1  20518  wallispi2lem2  27232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-sub 9035  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-dec 10121
  Copyright terms: Public domain W3C validator