MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt Structured version   Unicode version

Theorem deg1lt 20058
Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1lt  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( A `  G )  =  .0.  )

Proof of Theorem deg1lt
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 960 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( D `  F )  <  G )
2 simp2 959 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  G  e.  NN0 )
3 deg1leb.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  R )
4 deg1leb.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 deg1leb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  P
)
63, 4, 5deg1xrcl 20043 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
763ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
8 xrleid 10781 . . . . 5  |-  ( ( D `  F )  e.  RR*  ->  ( D `
 F )  <_ 
( D `  F
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( D `  F )  <_  ( D `  F
) )
10 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  F  e.  B )
11 deg1leb.y . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 deg1leb.a . . . . . 6  |-  A  =  (coe1 `  F )
133, 4, 5, 11, 12deg1leb 20056 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( D `
 F )  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
1410, 7, 13syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( D `
 F )  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
159, 14mpbid 203 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( D `
 F )  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
16 breq2 4247 . . . . 5  |-  ( x  =  G  ->  (
( D `  F
)  <  x  <->  ( D `  F )  <  G
) )
17 fveq2 5763 . . . . . 6  |-  ( x  =  G  ->  ( A `  x )  =  ( A `  G ) )
1817eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  G  ->  (
( A `  x
)  =  .0.  <->  ( A `  G )  =  .0.  ) )
1916, 18imbi12d 313 . . . 4  |-  ( x  =  G  ->  (
( ( D `  F )  <  x  ->  ( A `  x
)  =  .0.  )  <->  ( ( D `  F
)  <  G  ->  ( A `  G )  =  .0.  ) ) )
2019rspcva 3059 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
( D `  F
)  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( D `
 F )  < 
G  ->  ( A `  G )  =  .0.  ) )
212, 15, 20syl2anc 644 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  (
( D `  F
)  <  G  ->  ( A `  G )  =  .0.  ) )
221, 21mpd 15 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( A `  G )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   class class class wbr 4243   ` cfv 5489   RR*cxr 9157    < clt 9158    <_ cle 9159   NN0cn0 10259   Basecbs 13507   0gc0g 13761  Poly1cpl1 16609  coe1cco1 16612   deg1 cdg1 20015
This theorem is referenced by:  deg1ge  20059  coe1mul3  20060  deg1add  20064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-hash 11657  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-mulg 14853  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-abl 15453  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-cring 15702  df-ur 15703  df-psr 16455  df-mpl 16457  df-opsr 16463  df-psr1 16614  df-ply1 16616  df-coe1 16619  df-cnfld 16742  df-mdeg 20016  df-deg1 20017
  Copyright terms: Public domain W3C validator