MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  demoivre Unicode version

Theorem demoivre 12688
Description: De Moivre's Formula. Shorter proof of demoivreALT 12689 using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)
Assertion
Ref Expression
demoivre  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )

Proof of Theorem demoivre
StepHypRef Expression
1 ax-icn 8943 . . . 4  |-  _i  e.  CC
2 mulcl 8968 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
4 efexp 12589 . . 3  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ N
) )
53, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ^ N
) )
6 zcn 10180 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 mul12 9125 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  ( N  x.  A )
) )
81, 7mp3an2 1266 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  (
_i  x.  A )
)  =  ( _i  x.  ( N  x.  A ) ) )
98fveq2d 5636 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( N  x.  A ) ) ) )
10 mulcl 8968 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  A
)  e.  CC )
11 efival 12640 . . . . . 6  |-  ( ( N  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( N  x.  A
) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( N  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
139, 12eqtrd 2398 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
1413ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
156, 14sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( N  x.  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) ) )
16 efival 12640 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
1716oveq1d 5996 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ N )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N
) )
1817adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
) ^ N )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N
) )
195, 15, 183eqtr3rd 2407 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   _ici 8886    + caddc 8887    x. cmul 8889   ZZcz 10175   ^cexp 11269   expce 12551   sincsin 12553   cosccos 12554
This theorem is referenced by:  basellem3  20543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-ico 10815  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560
  Copyright terms: Public domain W3C validator