Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangfmla Unicode version

Theorem derangfmla 23128
Description: The derangements formula, which expresses the number of derangements of a finite nonempty set in terms of the factorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derangfmla.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangfmla  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    x, D, y
Allowed substitution hint:    D( f)

Proof of Theorem derangfmla
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 derangfmla.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2 oveq2 5828 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... m
) )
32fveq2d 5490 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( D `  ( 1 ... n ) )  =  ( D `  (
1 ... m ) ) )
43cbvmptv 4112 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( D `  ( 1 ... m
) ) )
51, 4derangen2 23112 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
7 hashnncl 11350 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
87biimpar 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
91, 4subfacval3 23127 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `  ( # `
 A ) )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( |_ `  (
( ( ! `  ( # `  A ) )  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
116, 10eqtrd 2316 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   {cab 2270    =/= wne 2447   A.wral 2544   (/)c0 3456    e. cmpt 4078   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Fincfn 6859   1c1 8734    + caddc 8736    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   NN0cn0 9961   ...cfz 10778   |_cfl 10920   !cfa 11284   #chash 11333   _eceu 12340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-ico 10658  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-e 12346
  Copyright terms: Public domain W3C validator