Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangfmla Unicode version

Theorem derangfmla 23723
Description: The derangements formula, which expresses the number of derangements of a finite nonempty set in terms of the factorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derangfmla.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangfmla  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    x, D, y
Allowed substitution hint:    D( f)

Proof of Theorem derangfmla
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 derangfmla.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... m
) )
32fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( D `  ( 1 ... n ) )  =  ( D `  (
1 ... m ) ) )
43cbvmptv 4113 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( D `  ( 1 ... m
) ) )
51, 4derangen2 23707 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
7 hashnncl 11356 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
87biimpar 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
91, 4subfacval3 23722 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `  ( # `
 A ) )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( |_ `  (
( ( ! `  ( # `  A ) )  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
116, 10eqtrd 2317 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   {cab 2271    =/= wne 2448   A.wral 2545   (/)c0 3457    e. cmpt 4079   -1-1-onto->wf1o 5256   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Fincfn 6865   1c1 8740    + caddc 8742    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ...cfz 10784   |_cfl 10926   !cfa 11290   #chash 11339   _eceu 12346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-ico 10664  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-e 12352
  Copyright terms: Public domain W3C validator