Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Unicode version

Theorem deranglem 23070
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Distinct variable group:    A, f
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 7120 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  A
)  e.  Fin )
2 f1of 5410 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  f : A
--> A )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f : A
--> A )
4 elmapg 6753 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
f : A --> A ) )
53, 4syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3222 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )
7 ssfi 7051 . . 3  |-  ( ( ( A  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 645 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
98anidms 629 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   {cab 2244    C_ wss 3127   -->wf 4669   -1-1-onto->wf1o 4672  (class class class)co 5792    ^m cmap 6740   Fincfn 6831
This theorem is referenced by:  derangf  23072  derangenlem  23075  subfaclefac  23080  subfacp1lem3  23086  subfacp1lem5  23088  subfacp1lem6  23089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835
  Copyright terms: Public domain W3C validator