Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Unicode version

Theorem deranglem 23104
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Distinct variable group:    A, f
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 7148 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  A
)  e.  Fin )
2 f1of 5438 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  f : A
--> A )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f : A
--> A )
4 elmapg 6781 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
f : A --> A ) )
53, 4syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3248 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )
7 ssfi 7079 . . 3  |-  ( ( ( A  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
98anidms 626 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1685   {cab 2270    C_ wss 3153   -->wf 5217   -1-1-onto->wf1o 5220  (class class class)co 5820    ^m cmap 6768   Fincfn 6859
This theorem is referenced by:  derangf  23106  derangenlem  23109  subfaclefac  23114  subfacp1lem3  23120  subfacp1lem5  23122  subfacp1lem6  23123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator