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Definition df-ig2 25393
Description: Definition of a geometry that can build on the axioms of incidence. Definition of an Incidence-Betweenness Geometry in [AitkenIBG] p. 1-2. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 1-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
df-ig2  |- Ig  =  {
f  |  [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
Distinct variable group:    f, g, h, l, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-ig2
StepHypRef Expression
1 cig 25392 . 2  class Ig
2 vl . . . . . . . . 9  set  l
32cv 1618 . . . . . . . 8  class  l
4 vg . . . . . . . . 9  set  g
54cv 1618 . . . . . . . 8  class  g
63, 5wss 3094 . . . . . . 7  wff  l  C_  g
7 vh . . . . . . . 8  set  h
87cv 1618 . . . . . . 7  class  h
96, 2, 8wral 2516 . . . . . 6  wff  A. l  e.  h  l  C_  g
10 vx . . . . . . . . . . . 12  set  x
1110cv 1618 . . . . . . . . . . 11  class  x
12 vy . . . . . . . . . . . 12  set  y
1312cv 1618 . . . . . . . . . . 11  class  y
1411, 13wne 2419 . . . . . . . . . 10  wff  x  =/=  y
1510, 2wel 1622 . . . . . . . . . . . 12  wff  x  e.  l
1612, 2wel 1622 . . . . . . . . . . . 12  wff  y  e.  l
1715, 16wa 360 . . . . . . . . . . 11  wff  ( x  e.  l  /\  y  e.  l )
1817, 2, 8wreu 2518 . . . . . . . . . 10  wff  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l )
1914, 18wi 6 . . . . . . . . 9  wff  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  (
x  e.  l  /\  y  e.  l )
)
2019, 12, 5wral 2516 . . . . . . . 8  wff  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )
2120, 10, 5wral 2516 . . . . . . 7  wff  A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )
2214, 15, 16w3a 939 . . . . . . . . . 10  wff  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
2322, 12, 5wrex 2517 . . . . . . . . 9  wff  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
2423, 10, 5wrex 2517 . . . . . . . 8  wff  E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
2524, 2, 8wral 2516 . . . . . . 7  wff  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
26 vz . . . . . . . . . . . . . 14  set  z
2726cv 1618 . . . . . . . . . . . . 13  class  z
2813, 27wne 2419 . . . . . . . . . . . 12  wff  y  =/=  z
2911, 27wne 2419 . . . . . . . . . . . 12  wff  x  =/=  z
3014, 28, 29w3a 939 . . . . . . . . . . 11  wff  ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )
3126, 2wel 1622 . . . . . . . . . . . . . 14  wff  z  e.  l
3215, 16, 31w3a 939 . . . . . . . . . . . . 13  wff  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )
3332wn 5 . . . . . . . . . . . 12  wff  -.  (
x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )
3433, 2, 8wral 2516 . . . . . . . . . . 11  wff  A. l  e.  h  -.  (
x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )
3530, 34wa 360 . . . . . . . . . 10  wff  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )
3635, 26, 5wrex 2517 . . . . . . . . 9  wff  E. z  e.  g  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )
3736, 12, 5wrex 2517 . . . . . . . 8  wff  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )
3837, 10, 5wrex 2517 . . . . . . 7  wff  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )
3921, 25, 38w3a 939 . . . . . 6  wff  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
409, 39wa 360 . . . . 5  wff  ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
41 vf . . . . . . 7  set  f
4241cv 1618 . . . . . 6  class  f
43 cplines 25390 . . . . . 6  class PLines
4442, 43cfv 4638 . . . . 5  class  (PLines `  f )
4540, 7, 44wsbc 2935 . . . 4  wff  [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
46 cpoints 25388 . . . . 5  class PPoints
4742, 46cfv 4638 . . . 4  class  (PPoints `  f
)
4845, 4, 47wsbc 2935 . . 3  wff  [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4948, 41cab 2242 . 2  class  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
501, 49wceq 1619 1  wff Ig  =  {
f  |  [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
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