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Theorem dfac11 26492
Description: The right hand side of this theorem (compare with ac4 8035), sometimes known as the "axiom of multiple choice", is a choice equivalent. Curiously, this statement cannot be proved without ax-reg 7239, despite not mentioning the cumulative hierarchy in any way as most consequences of regularity do.

This is definition (MC) of [Schechter] p. 141. EDITORIAL: the proof is not original with me of course but I lost my reference sometime after writing it.

A multiple choice function allows any total order to be extended to a choice function, which in turn defines a well ordering. Since a well ordering on a set defines a simple ordering of the power set, this allows the trivial well-ordering of the empty set to be transfinitely bootstrapped up the cumulative hierarchy to any desired level. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 1-Jun-2015.)

Assertion
Ref Expression
dfac11  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
Distinct variable group:    x, z, f

Proof of Theorem dfac11
StepHypRef Expression
1 dfac3 7681 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. a E. c A. d  e.  a  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d ) )
2 raleq 2698 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. d  e.  a 
( d  =/=  (/)  ->  (
c `  d )  e.  d )  <->  A. d  e.  x  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d ) ) )
32exbidv 2006 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( E. c A. d  e.  a  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d )  <->  E. c A. d  e.  x  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d ) ) )
43cbvalv 2046 . . . 4  |-  ( A. a E. c A. d  e.  a  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d )  <->  A. x E. c A. d  e.  x  ( d  =/=  (/)  ->  (
c `  d )  e.  d ) )
5 neeq1 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  (
d  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
6 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  z  ->  (
c `  d )  =  ( c `  z ) )
7 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  z  ->  d  =  z )
86, 7eleq12d 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  (
( c `  d
)  e.  d  <->  ( c `  z )  e.  z ) )
95, 8imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  z  ->  (
( d  =/=  (/)  ->  (
c `  d )  e.  d )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( c `  z )  e.  z ) ) )
109cbvralv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  x  (
d  =/=  (/)  ->  (
c `  d )  e.  d )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( c `  z )  e.  z ) )
11 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  z  ->  (
c `  b )  =  ( c `  z ) )
1211sneqd 3594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  z  ->  { ( c `  b ) }  =  { ( c `  z ) } )
13 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } )  =  ( b  e.  x  |->  { ( c `  b
) } )
14 snex 4154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( c `  z ) }  e.  _V
1512, 13, 14fvmpt 5501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  x  ->  (
( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } ) `
 z )  =  { ( c `  z ) } )
16153ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  (
( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } ) `
 z )  =  { ( c `  z ) } )
17 simp3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  (
c `  z )  e.  z )
1817snssd 3701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  { ( c `  z ) }  C_  z )
1914elpw 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( c `  z
) }  e.  ~P z 
<->  { ( c `  z ) }  C_  z )
2018, 19sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  { ( c `  z ) }  e.  ~P z
)
21 snfi 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( c `  z ) }  e.  Fin
2221a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  { ( c `  z ) }  e.  Fin )
23 elin 3300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( c `  z
) }  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) 
<->  ( { ( c `
 z ) }  e.  ~P z  /\  { ( c `  z
) }  e.  Fin ) )
2420, 22, 23sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  { ( c `  z ) }  e.  ( ~P z  i^i  Fin )
)
25 fvex 5437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c `
 z )  e. 
_V
2625snnz 3685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( c `  z ) }  =/=  (/)
2726a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  { ( c `  z ) }  =/=  (/) )
28 eldifsn 3690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( c `  z
) }  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} )  <->  ( {
( c `  z
) }  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  /\  { ( c `
 z ) }  =/=  (/) ) )
2924, 27, 28sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  { ( c `  z ) }  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )
3016, 29eqeltrd 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/)  /\  ( c `
 z )  e.  z )  ->  (
( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } ) `
 z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )
31303exp 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  =/=  (/)  ->  (
( c `  z
)  e.  z  -> 
( ( b  e.  x  |->  { ( c `
 b ) } ) `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) ) )
3231a2d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
c `  z )  e.  z )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  (
( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } ) `
 z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) ) )
3332ralimia 2587 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
c `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
b  e.  x  |->  { ( c `  b
) } ) `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
3410, 33sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( A. d  e.  x  (
d  =/=  (/)  ->  (
c `  d )  e.  d )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
b  e.  x  |->  { ( c `  b
) } ) `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
35 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
3635mptex 5645 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } )  e.  _V
37 fveq1 5422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( b  e.  x  |->  { ( c `
 b ) } )  ->  ( f `  z )  =  ( ( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } ) `
 z ) )
3837eleq1d 2322 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( b  e.  x  |->  { ( c `
 b ) } )  ->  ( (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  <->  ( (
b  e.  x  |->  { ( c `  b
) } ) `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
3938imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( b  e.  x  |->  { ( c `
 b ) } )  ->  ( (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
b  e.  x  |->  { ( c `  b
) } ) `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) ) )
4039ralbidv 2534 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( b  e.  x  |->  { ( c `
 b ) } )  ->  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
b  e.  x  |->  { ( c `  b
) } ) `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) ) )
4136, 40cla4ev 2826 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
( b  e.  x  |->  { ( c `  b ) } ) `
 z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
4234, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. d  e.  x  (
d  =/=  (/)  ->  (
c `  d )  e.  d )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
4342exlimiv 2024 . . . . 5  |-  ( E. c A. d  e.  x  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
4443alimi 1546 . . . 4  |-  ( A. x E. c A. d  e.  x  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d )  ->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
454, 44sylbi 189 . . 3  |-  ( A. a E. c A. d  e.  a  ( d  =/=  (/)  ->  ( c `  d )  e.  d )  ->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
461, 45sylbi 189 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
47 fvex 5437 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  a
) )  e.  _V
4847pwex 4131 . . . . . 6  |-  ~P ( R1 `  ( rank `  a
) )  e.  _V
49 raleq 2698 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ~P ( R1
`  ( rank `  a
) )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  <->  A. z  e.  ~P  ( R1 `  ( rank `  a )
) ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) ) )
5049exbidv 2006 . . . . . 6  |-  ( x  =  ~P ( R1
`  ( rank `  a
) )  ->  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  <->  E. f A. z  e.  ~P  ( R1 `  ( rank `  a ) ) ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) ) )
5148, 50cla4v 2825 . . . . 5  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  E. f A. z  e. 
~P  ( R1 `  ( rank `  a )
) ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
52 rankon 7400 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  a )  e.  On
5352a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ~P  ( R1 `  ( rank `  a
) ) ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( rank `  a )  e.  On )
54 id 21 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ~P  ( R1 `  ( rank `  a
) ) ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  A. z  e.  ~P  ( R1 `  ( rank `  a ) ) ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
5553, 54aomclem8 26491 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ~P  ( R1 `  ( rank `  a
) ) ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  E. b  b  We  ( R1 `  ( rank `  a ) ) )
5655exlimiv 2024 . . . . 5  |-  ( E. f A. z  e. 
~P  ( R1 `  ( rank `  a )
) ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  E. b  b  We  ( R1 `  ( rank `  a ) ) )
57 vex 2743 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
58 r1rankid 7464 . . . . . 6  |-  ( a  e.  _V  ->  a  C_  ( R1 `  ( rank `  a ) ) )
59 wess 4317 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  ( R1 `  ( rank `  a )
)  ->  ( b  We  ( R1 `  ( rank `  a ) )  ->  b  We  a
) )
6059eximdv 2019 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  ( R1 `  ( rank `  a )
)  ->  ( E. b  b  We  ( R1 `  ( rank `  a
) )  ->  E. b 
b  We  a ) )
6157, 58, 60mp2b 11 . . . . 5  |-  ( E. b  b  We  ( R1 `  ( rank `  a
) )  ->  E. b 
b  We  a )
6251, 56, 613syl 20 . . . 4  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  E. b  b  We  a )
6362alrimiv 2013 . . 3  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  A. a E. b  b  We  a )
64 dfac8 7694 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. a E. b  b  We  a )
6563, 64sylibr 205 . 2  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  -> CHOICE )
6646, 65impbii 182 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  ( ( ~P z  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   _Vcvv 2740    \ cdif 3091    i^i cin 3093    C_ wss 3094   (/)c0 3397   ~Pcpw 3566   {csn 3581    e. cmpt 4017    We wwe 4288   Oncon0 4329   ` cfv 4638   Fincfn 6796   R1cr1 7367   rankcrnk 7368  CHOICEwac 7675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-reg 7239  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-fin 6800  df-sup 7127  df-r1 7369  df-rank 7370  df-card 7505  df-ac 7676
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