Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Structured version   Unicode version

Theorem dfac13 8024
 Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13 CHOICE AC

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . 4
2 acacni 8022 . . . . 5 CHOICE AC
31, 2mpan2 654 . . . 4 CHOICE AC
41, 3syl5eleqr 2525 . . 3 CHOICE AC
54alrimiv 1642 . 2 CHOICE AC
6 vex 2961 . . . . . . . . 9
76pwex 4384 . . . . . . . 8
8 id 21 . . . . . . . . 9
9 acneq 7926 . . . . . . . . 9 AC AC
108, 9eleq12d 2506 . . . . . . . 8 AC AC
117, 10spcv 3044 . . . . . . 7 AC AC
12 vex 2961 . . . . . . . 8
136canth2 7262 . . . . . . . . . 10
14 sdomdom 7137 . . . . . . . . . 10
15 acndom2 7937 . . . . . . . . . 10 AC AC
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 AC AC
17 acnnum 7935 . . . . . . . . 9 AC
1816, 17sylib 190 . . . . . . . 8 AC
19 numacn 7932 . . . . . . . 8 AC
2012, 18, 19mpsyl 62 . . . . . . 7 AC AC
2111, 20syl 16 . . . . . 6 AC AC
226a1i 11 . . . . . 6 AC
2321, 222thd 233 . . . . 5 AC AC
2423eqrdv 2436 . . . 4 AC AC
2524alrimiv 1642 . . 3 AC AC
26 dfacacn 8023 . . 3 CHOICE AC
2725, 26sylibr 205 . 2 AC CHOICE
285, 27impbii 182 1 CHOICE AC
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  cpw 3801   class class class wbr 4214   cdm 4880   cdom 7109   csdm 7110  ccrd 7824  AC wacn 7827  CHOICEwac 7998 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-1o 6726  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999
 Copyright terms: Public domain W3C validator