MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Unicode version

Theorem dfac13 7978
Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13  |-  (CHOICE  <->  A. x  x  e. AC  x )

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 7976 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 653 . . . 4  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
41, 3syl5eleqr 2491 . . 3  |-  (CHOICE  ->  x  e. AC  x )
54alrimiv 1638 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x  x  e. AC  x )
6 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
76pwex 4342 . . . . . . . 8  |-  ~P z  e.  _V
8 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~P z  ->  x  =  ~P z
)
9 acneq 7880 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~P z  -> AC  x  = AC  ~P z )
108, 9eleq12d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ~P z  -> 
( x  e. AC  x  <->  ~P z  e. AC 
~P z ) )
117, 10spcv 3002 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  e. AC  x  ->  ~P z  e. AC  ~P z
)
12 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
136canth2 7219 . . . . . . . . . 10  |-  z  ~<  ~P z
14 sdomdom 7094 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~<  ~P z  ->  z  ~<_  ~P z )
15 acndom2 7891 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  ~<_  ~P z  ->  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  ~P z
) )
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  ~P z
)
17 acnnum 7889 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e. AC  ~P z  <->  z  e.  dom  card )
1816, 17sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e.  dom  card )
19 numacn 7886 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  e.  dom  card  -> 
z  e. AC  y ) )
2012, 18, 19mpsyl 61 . . . . . . 7  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  y )
2111, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
z  e. AC  y )
226a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
z  e.  _V )
2321, 222thd 232 . . . . 5  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
( z  e. AC  y  <->  z  e.  _V ) )
2423eqrdv 2402 . . . 4  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> AC  y  =  _V )
2524alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. x  x  e. AC  x  ->  A. yAC  y  =  _V )
26 dfacacn 7977 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. yAC  y  =  _V )
2725, 26sylibr 204 . 2  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> CHOICE )
285, 27impbii 181 1  |-  (CHOICE  <->  A. x  x  e. AC  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   dom cdm 4837    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   cardccrd 7778  AC wacn 7781  CHOICEwac 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-1o 6683  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953
  Copyright terms: Public domain W3C validator