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Theorem dfac2 7946
Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8277). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 7500 and preleq 7507 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 7945.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2
Dummy variables  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7937 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 nfra1 2701 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
3 rsp 2711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4 equid 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  =  z
5 neeq1 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
6 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  z  <->  z  =  z ) )
75, 6anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  <->  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) ) )
87rspcev 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
94, 8mpanr2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
10 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
1110preq1d 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  u ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  u } )
12 preq2 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  z } )
1311, 12eqtr2d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )
1413anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  -> 
( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
1514reximi 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
17 prex 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ( f `  z ) ,  z }  e.  _V
18 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  { (
f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2019rexbidv 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2117, 20elab 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { ( f `  z
) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
2216, 21sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) } )
23 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
2423prid2 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
25 fvex 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
2625prid1 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
2724, 26pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { ( f `
 z ) ,  z }  /\  (
f `  z )  e.  { ( f `  z ) ,  z } )
28 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  z
) ,  z } ) )
29 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( f `  z
)  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  {
( f `  z
) ,  z } ) )
3028, 29anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( z  e.  v  /\  ( f `  z )  e.  v )  <->  ( z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z } ) ) )
3130rspcev 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  /\  (
z  e.  { ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `  z
)  e.  { ( f `  z ) ,  z } ) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
3222, 27, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
33 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  z  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
34 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  v ) )
3534anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  ( f `
 z )  e.  v ) ) )
3635rexbidv 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) )
3733, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( ( f `
 z )  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) ) )
3825, 37spcev 2988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  (
f `  z )  e.  v ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
3932, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  z  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
413, 40syl8 67 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) ) )
4241imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
4342pm2.43d 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
44 df-rex 2657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
45 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
46 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  v  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
4746anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  v  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4847rexbidv 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  v  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4945, 48elab 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
50 neeq1 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =/=  (/)  <->  u  =/=  (/) ) )
51 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
f `  z )  =  ( f `  u ) )
5251eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  z ) )
53 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  u
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5452, 53bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5550, 54imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  u  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( u  =/=  (/)  ->  ( f `  u )  e.  u
) ) )
5655rspccv 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u ) ) )
57 elirrv 7500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  -.  w  e.  w
58 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  w  <->  w  e.  z ) )
5957, 58mtbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  =  z  ->  -.  w  e.  z )
6059con2i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  e.  z  ->  -.  w  =  z )
61 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  w  e. 
_V
62 fvex 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
63 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  u  e. 
_V
6461, 23, 62, 63prel12 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  w  =  z  -> 
( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( w  e.  { ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  { (
f `  u ) ,  u } ) ) )
65 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
)
66 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
67 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
6866, 67anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( w  e. 
{ ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  {
( f `  u
) ,  u }
) ) )
6965, 68syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  {
( f `  u
) ,  u }  /\  z  e.  { ( f `  u ) ,  u } )  <-> 
( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7064, 69sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  -.  w  =  z
)  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7160, 70sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  w  e.  z )  ->  ( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
7271adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  ( w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u ) )  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7372pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } )  <->  ( (
w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u )  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
7461, 23, 62, 63preleq 7507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  z  /\  ( f `  u )  e.  u
)  /\  { w ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )
)
7573, 74syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( w  =  ( f `  u )  /\  z  =  u ) ) )
7651eqeq2d 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
w  =  ( f `
 z )  <->  w  =  ( f `  u
) ) )
7776biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )  ->  w  =  ( f `
 z ) )
7875, 77syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
7978exp4c 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( f `  u )  e.  u  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8079com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f `  u )  e.  u  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8156, 80syl8 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) ) ) )
8281com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) ) )
8382imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) )
8483imp4a 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( ( u  =/=  (/)  /\  v  =  {
( f `  u
) ,  u }
)  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8584com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
8685rexlimiv 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8749, 86sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8887exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( w  e.  z  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8988com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
9089imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  (
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9190exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v ( v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9244, 91syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9392expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
9493alrimiv 1638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. w
( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
95 mo2icl 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9743, 96jctird 529 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  /\  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
98 df-reu 2658 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
99 eu5 2278 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10098, 99bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10197, 100syl6ibr 219 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
102101exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
1032, 102ralrimi 2732 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
104 vex 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
105104rnex 5075 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  f  e.  _V
106 p0ex 4329 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
107105, 106unex 4649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  e.  _V
108 vex 2904 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109107, 108unex 4649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  e.  _V
110109pwex 4325 . . . . . . . 8  |-  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  e.  _V
111 ssun1 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
112 fvrn0 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 u )  e.  ( ran  f  u. 
{ (/) } )
113111, 112sselii 3290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 u )  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
114 elun2 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  x  ->  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
115 prssi 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  /\  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
116113, 114, 115sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
117 prex 4349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( f `  u ) ,  u }  e.  _V
118117elpw 3750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( f `  u
) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )  <->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
119116, 118sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
120 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
g  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  <->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
) ) )
121119, 120syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
) ) )
122121adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) ) )
123122rexlimiv 2769 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
124123abssi 3363 . . . . . . . 8  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  C_  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
125110, 124ssexi 4291 . . . . . . 7  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  e.  _V
126 rexeq 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
127126reubidv 2837 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
128127imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
129128ralbidv 2671 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
130125, 129spcev 2988 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
131103, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
132131exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
133132alimi 1565 . . 3  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
1341, 133sylbi 188 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
135 dfac2a 7945 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
136134, 135impbii 181 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2240   E*wmo 2241   {cab 2375    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   E!wreu 2653    u. cun 3263    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   {cpr 3760   ran crn 4821   ` cfv 5396  CHOICEwac 7931
This theorem is referenced by:  dfac7  7947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-reg 7495
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-eprel 4437  df-id 4441  df-fr 4484  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fv 5404  df-riota 6487  df-ac 7932
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