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Theorem dfac2 7975
Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8306). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 7529 and preleq 7536 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 7974.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2
Dummy variables  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7966 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 nfra1 2724 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
3 rsp 2734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4 equid 1684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  =  z
5 neeq1 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
6 eqeq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  z  <->  z  =  z ) )
75, 6anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  <->  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) ) )
87rspcev 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
94, 8mpanr2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
10 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
1110preq1d 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  u ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  u } )
12 preq2 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  z } )
1311, 12eqtr2d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )
1413anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  -> 
( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
1514reximi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
17 prex 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ( f `  z ) ,  z }  e.  _V
18 eqeq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  { (
f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2019rexbidv 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2117, 20elab 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { ( f `  z
) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
2216, 21sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) } )
23 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
2423prid2 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
25 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
2625prid1 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
2724, 26pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { ( f `
 z ) ,  z }  /\  (
f `  z )  e.  { ( f `  z ) ,  z } )
28 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  z
) ,  z } ) )
29 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( f `  z
)  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  {
( f `  z
) ,  z } ) )
3028, 29anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( z  e.  v  /\  ( f `  z )  e.  v )  <->  ( z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z } ) ) )
3130rspcev 3020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  /\  (
z  e.  { ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `  z
)  e.  { ( f `  z ) ,  z } ) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
3222, 27, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
33 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  z  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
34 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  v ) )
3534anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  ( f `
 z )  e.  v ) ) )
3635rexbidv 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) )
3733, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( ( f `
 z )  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) ) )
3825, 37spcev 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  (
f `  z )  e.  v ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
3932, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  z  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
413, 40syl8 67 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) ) )
4241imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
4342pm2.43d 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
44 df-rex 2680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
45 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
46 eqeq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  v  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
4746anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  v  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4847rexbidv 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  v  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4945, 48elab 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
50 neeq1 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =/=  (/)  <->  u  =/=  (/) ) )
51 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
f `  z )  =  ( f `  u ) )
5251eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  z ) )
53 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  u
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5452, 53bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5550, 54imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  u  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( u  =/=  (/)  ->  ( f `  u )  e.  u
) ) )
5655rspccv 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u ) ) )
57 elirrv 7529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  -.  w  e.  w
58 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  w  <->  w  e.  z ) )
5957, 58mtbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  =  z  ->  -.  w  e.  z )
6059con2i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  e.  z  ->  -.  w  =  z )
61 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  w  e. 
_V
62 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
63 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  u  e. 
_V
6461, 23, 62, 63prel12 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  w  =  z  -> 
( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( w  e.  { ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  { (
f `  u ) ,  u } ) ) )
65 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
)
66 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
67 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
6866, 67anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( w  e. 
{ ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  {
( f `  u
) ,  u }
) ) )
6965, 68syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  {
( f `  u
) ,  u }  /\  z  e.  { ( f `  u ) ,  u } )  <-> 
( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7064, 69sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  -.  w  =  z
)  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7160, 70sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  w  e.  z )  ->  ( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
7271adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  ( w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u ) )  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7372pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } )  <->  ( (
w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u )  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
7461, 23, 62, 63preleq 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  z  /\  ( f `  u )  e.  u
)  /\  { w ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )
)
7573, 74syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( w  =  ( f `  u )  /\  z  =  u ) ) )
7651eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
w  =  ( f `
 z )  <->  w  =  ( f `  u
) ) )
7776biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )  ->  w  =  ( f `
 z ) )
7875, 77syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
7978exp4c 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( f `  u )  e.  u  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8079com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f `  u )  e.  u  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8156, 80syl8 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) ) ) )
8281com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) ) )
8382imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) )
8483imp4a 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( ( u  =/=  (/)  /\  v  =  {
( f `  u
) ,  u }
)  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8584com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
8685rexlimiv 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8749, 86sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8887exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( w  e.  z  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8988com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
9089imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  (
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9190exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v ( v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9244, 91syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9392expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
9493alrimiv 1638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. w
( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
95 mo2icl 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9743, 96jctird 529 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  /\  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
98 df-reu 2681 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
99 eu5 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10098, 99bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10197, 100syl6ibr 219 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
102101exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
1032, 102ralrimi 2755 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
104 vex 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
105104rnex 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  f  e.  _V
106 p0ex 4354 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
107105, 106unex 4674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  e.  _V
108 vex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109107, 108unex 4674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  e.  _V
110109pwex 4350 . . . . . . . 8  |-  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  e.  _V
111 ssun1 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
112 fvrn0 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 u )  e.  ( ran  f  u. 
{ (/) } )
113111, 112sselii 3313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 u )  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
114 elun2 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  x  ->  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
115 prssi 3922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  /\  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
116113, 114, 115sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
117 prex 4374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( f `  u ) ,  u }  e.  _V
118117elpw 3773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( f `  u
) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )  <->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
119116, 118sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
120 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
g  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  <->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
) ) )
121119, 120syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
) ) )
122121adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) ) )
123122rexlimiv 2792 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
124123abssi 3386 . . . . . . . 8  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  C_  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
125110, 124ssexi 4316 . . . . . . 7  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  e.  _V
126 rexeq 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
127126reubidv 2860 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
128127imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
129128ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
130125, 129spcev 3011 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
131103, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
132131exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
133132alimi 1565 . . 3  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
1341, 133sylbi 188 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
135 dfac2a 7974 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
136134, 135impbii 181 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2262   E*wmo 2263   {cab 2398    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   E!wreu 2676    u. cun 3286    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   {csn 3782   {cpr 3783   ran crn 4846   ` cfv 5421  CHOICEwac 7960
This theorem is referenced by:  dfac7  7976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-reg 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-eprel 4462  df-id 4466  df-fr 4509  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-riota 6516  df-ac 7961
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