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Theorem dfac2 8003
Description: Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 8334). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 7557 and preleq 7564 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 8002.) TODO: Fix label in comment, and put label changes into list at top of set.mm. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem dfac2
Dummy variables  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7994 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 nfra1 2748 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
3 rsp 2758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4 equid 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  =  z
5 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
6 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  z  <->  z  =  z ) )
75, 6anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  <->  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) ) )
87rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( z  =/=  (/)  /\  z  =  z ) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
94, 8mpanr2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z ) )
10 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
1110preq1d 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  u ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  u } )
12 preq2 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  u }  =  { ( f `  z ) ,  z } )
1311, 12eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  z  ->  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )
1413anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  -> 
( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
1514reximi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  u  =  z )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  {
( f `  z
) ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
17 prex 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ( f `  z ) ,  z }  e.  _V
18 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  { (
f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2019rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
2117, 20elab 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { ( f `  z
) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  { ( f `  z ) ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
2216, 21sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) } )
23 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
2423prid2 3905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
25 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
2625prid1 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }
2724, 26pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { ( f `
 z ) ,  z }  /\  (
f `  z )  e.  { ( f `  z ) ,  z } )
28 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  z
) ,  z } ) )
29 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( f `  z
)  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  {
( f `  z
) ,  z } ) )
3028, 29anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { ( f `
 z ) ,  z }  ->  (
( z  e.  v  /\  ( f `  z )  e.  v )  <->  ( z  e. 
{ ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `
 z )  e. 
{ ( f `  z ) ,  z } ) ) )
3130rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { ( f `  z ) ,  z }  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  /\  (
z  e.  { ( f `  z ) ,  z }  /\  ( f `  z
)  e.  { ( f `  z ) ,  z } ) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
3222, 27, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) )
33 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  z  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
w  e.  v  <->  ( f `  z )  e.  v ) )
3534anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  ( f `
 z )  e.  v ) ) )
3635rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) )
3733, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( ( f `
 z )  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  ( f `  z
)  e.  v ) ) ) )
3825, 37spcev 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  (
f `  z )  e.  v ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
3932, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  z  /\  ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  z  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
413, 40syl8 67 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) ) )
4241imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
4342pm2.43d 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
44 df-rex 2703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
45 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
46 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  v  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  <->  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
4746anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  v  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4847rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  v  ->  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) ) )
4945, 48elab 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  <->  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } ) )
50 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =/=  (/)  <->  u  =/=  (/) ) )
51 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
f `  z )  =  ( f `  u ) )
5251eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  z ) )
53 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  u
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5452, 53bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  u  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  u )  e.  u
) )
5550, 54imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  u  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( u  =/=  (/)  ->  ( f `  u )  e.  u
) ) )
5655rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
f `  u )  e.  u ) ) )
57 elirrv 7557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  -.  w  e.  w
58 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  w  <->  w  e.  z ) )
5957, 58mtbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( w  =  z  ->  -.  w  e.  z )
6059con2i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( w  e.  z  ->  -.  w  =  z )
61 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  w  e. 
_V
62 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
63 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  u  e. 
_V
6461, 23, 62, 63prel12 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  w  =  z  -> 
( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( w  e.  { ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  { (
f `  u ) ,  u } ) ) )
65 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
)
66 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
67 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  { ( f `  u
) ,  u }
) )
6866, 67anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  v  /\  z  e.  v )  <->  ( w  e. 
{ ( f `  u ) ,  u }  /\  z  e.  {
( f `  u
) ,  u }
) ) )
6965, 68syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( w  e.  {
( f `  u
) ,  u }  /\  z  e.  { ( f `  u ) ,  u } )  <-> 
( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7064, 69sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  -.  w  =  z
)  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7160, 70sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  w  e.  z )  ->  ( { w ,  z }  =  {
( f `  u
) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
7271adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  =  { ( f `  u ) ,  u }  /\  ( w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u ) )  ->  ( {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u }  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
7372pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  {
w ,  z }  =  { ( f `
 u ) ,  u } )  <->  ( (
w  e.  z  /\  ( f `  u
)  e.  u )  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
7461, 23, 62, 63preleq 7564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  z  /\  ( f `  u )  e.  u
)  /\  { w ,  z }  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )
)
7573, 74syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( w  =  ( f `  u )  /\  z  =  u ) ) )
7651eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  u  ->  (
w  =  ( f `
 z )  <->  w  =  ( f `  u
) ) )
7776biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  =  ( f `
 u )  /\  z  =  u )  ->  w  =  ( f `
 z ) )
7875, 77syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
( ( w  e.  z  /\  ( f `
 u )  e.  u )  /\  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
7978exp4c 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( f `  u )  e.  u  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8079com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f `  u )  e.  u  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) )
8156, 80syl8 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  =  {
( f `  u
) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) ) ) ) ) )
8281com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
u  e.  x  -> 
( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) ) )
8382imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( u  =/=  (/)  ->  (
v  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) ) )
8483imp4a 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( u  e.  x  ->  ( ( u  =/=  (/)  /\  v  =  {
( f `  u
) ,  u }
)  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8584com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
8685rexlimiv 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  v  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  (
( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8749, 86sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( w  e.  z  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) )
8887exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( w  e.  z  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  ( (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
8988com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
w  e.  z  -> 
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z
) ) ) ) )
9089imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  (
( v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9190exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v ( v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  /\  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9244, 91syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  w  e.  z )  ->  ( E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  w  =  ( f `  z ) ) )
9392expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
9493alrimiv 1641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. w
( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) ) )
95 mo2icl 3105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  w  =  ( f `  z
) )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
9743, 96jctird 529 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  /\  E* w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) ) )
98 df-reu 2704 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
99 eu5 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10098, 99bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( E. w ( w  e.  z  /\  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  /\  E* w
( w  e.  z  /\  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
10197, 100syl6ibr 219 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
102101exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
1032, 102ralrimi 2779 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
104 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
105104rnex 5125 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  f  e.  _V
106 p0ex 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
107105, 106unex 4699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  e.  _V
108 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109107, 108unex 4699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  e.  _V
110109pwex 4374 . . . . . . . 8  |-  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  e.  _V
111 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { (/) } )  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
112 fvrn0 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 u )  e.  ( ran  f  u. 
{ (/) } )
113111, 112sselii 3337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 u )  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
114 elun2 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  x  ->  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
115 prssi 3946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
)  /\  u  e.  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
116113, 114, 115sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
117 prex 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( f `  u ) ,  u }  e.  _V
118117elpw 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( f `  u
) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )  <->  { ( f `  u ) ,  u }  C_  ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
119116, 118sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
120 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  { ( f `
 u ) ,  u }  ->  (
g  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
)  <->  { ( f `  u ) ,  u }  e.  ~P (
( ran  f  u.  {
(/) } )  u.  x
) ) )
121119, 120syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  (
g  =  { ( f `  u ) ,  u }  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/)
} )  u.  x
) ) )
122121adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) ) )
123122rexlimiv 2816 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } )  ->  g  e.  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x ) )
124123abssi 3410 . . . . . . . 8  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  C_  ~P ( ( ran  f  u.  { (/) } )  u.  x )
125110, 124ssexi 4340 . . . . . . 7  |-  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  {
( f `  u
) ,  u }
) }  e.  _V
126 rexeq 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
127126reubidv 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. v  e.  {
g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
128127imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e. 
{ g  |  E. u  e.  x  (
u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
129128ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) ) )
130125, 129spcev 3035 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  { g  |  E. u  e.  x  ( u  =/=  (/)  /\  g  =  { ( f `  u ) ,  u } ) }  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
131103, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
132131exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
133132alimi 1568 . . 3  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
1341, 133sylbi 188 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
135 dfac2a 8002 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
136134, 135impbii 181 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280   E*wmo 2281   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   ran crn 4871   ` cfv 5446  CHOICEwac 7988
This theorem is referenced by:  dfac7  8004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-eprel 4486  df-id 4490  df-fr 4533  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-riota 6541  df-ac 7989
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