Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac2a Unicode version

Theorem dfac2a 7756
 Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 8088) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See dfac2 7757 for the converse (which does use the Axiom of Regularity). (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2a CHOICE
Distinct variable group:   ,,,,

Proof of Theorem dfac2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotauni 6311 . . . . . . . . 9
2 riotacl 6319 . . . . . . . . 9
31, 2eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8
4 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . 14
5 elequ1 1687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
76rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14
84, 7anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
98abbidv 2397 . . . . . . . . . . . 12
10 df-rab 2552 . . . . . . . . . . . 12
11 df-rab 2552 . . . . . . . . . . . 12
129, 10, 113eqtr4g 2340 . . . . . . . . . . 11
1312unieqd 3838 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
15 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12
1615rabex 4165 . . . . . . . . . . 11
1716uniex 4516 . . . . . . . . . 10
1813, 14, 17fvmpt 5602 . . . . . . . . 9
1918eleq1d 2349 . . . . . . . 8
203, 19syl5ibr 212 . . . . . . 7
2120imim2d 48 . . . . . 6
2221ralimia 2616 . . . . 5
23 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11
24 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11
2523, 24syl5ss 3190 . . . . . . . . . 10
26 uniss 3848 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl 15 . . . . . . . . 9
28 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12
2928uniex 4516 . . . . . . . . . . 11
3029uniex 4516 . . . . . . . . . 10
3130elpw2 4175 . . . . . . . . 9
3227, 31sylibr 203 . . . . . . . 8
3314, 32fmpti 5683 . . . . . . 7
3430pwex 4193 . . . . . . 7
35 fex2 5401 . . . . . . 7
3633, 28, 34, 35mp3an 1277 . . . . . 6
37 fveq1 5524 . . . . . . . . 9
3837eleq1d 2349 . . . . . . . 8
3938imbi2d 307 . . . . . . 7
4039ralbidv 2563 . . . . . 6
4136, 40spcev 2875 . . . . 5
4222, 41syl 15 . . . 4
4342exlimiv 1666 . . 3
4443alimi 1546 . 2
45 dfac3 7748 . 2 CHOICE
4644, 45sylibr 203 1 CHOICE
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wal 1527  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  wreu 2545  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  cuni 3827   cmpt 4077  wf 5251  cfv 5255  crio 6297  CHOICEwac 7742 This theorem is referenced by:  dfac2  7757  axac3OLD  8091  axac2  8093 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 6304  df-ac 7743
 Copyright terms: Public domain W3C validator