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Theorem dfac2a 7689
Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 8021) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See dfac2 7690 for the converse (which does use the Axiom of Regularity). (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2a  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
Distinct variable group:    x, z, y, w, v

Proof of Theorem dfac2a
StepHypRef Expression
1 riotauni 6244 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( iota_ w  e.  z E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  =  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
2 riotacl 6252 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( iota_ w  e.  z E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  e.  z )
31, 2eqeltrrd 2331 . . . . . . . 8  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  z )
4 elequ2 1832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
w  e.  u  <->  w  e.  z ) )
5 elequ1 1831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  v  <->  z  e.  v ) )
65anbi1d 688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
76rexbidv 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( E. v  e.  y 
( u  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
84, 7anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) )  <->  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
98abbidv 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  { w  |  ( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }  =  { w  |  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) } )
10 df-rab 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  |  ( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }
11 df-rab 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  |  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }
129, 10, 113eqtr4g 2313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
1312unieqd 3779 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
14 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  =  ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
15 vex 2743 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1615rabex 4105 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  _V
1716uniex 4453 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  _V
1813, 14, 17fvmpt 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  = 
U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
1918eleq1d 2322 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  (
( ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z  <->  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  z ) )
203, 19syl5ibr 214 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y 
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
2120imim2d 50 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) ) )
2221ralimia 2587 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
23 ssrab2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  u
24 elssuni 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  u  C_ 
U. x )
2523, 24syl5ss 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. x )
26 uniss 3789 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. x  ->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U.
U. x )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  x  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. U. x )
28 vex 2743 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
2928uniex 4453 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  e.  _V
3029uniex 4453 . . . . . . . . . 10  |-  U. U. x  e.  _V
3130elpw2 4108 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  ~P U.
U. x  <->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. U. x
)
3227, 31sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  x  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  ~P U.
U. x )
3314, 32fmpti 5582 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) : x --> ~P U. U. x
3430pwex 4131 . . . . . . 7  |-  ~P U. U. x  e.  _V
35 fex2 5304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) : x --> ~P U. U. x  /\  x  e. 
_V  /\  ~P U. U. x  e.  _V )  ->  ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  e.  _V )
3633, 28, 34, 35mp3an 1282 . . . . . 6  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  e. 
_V
37 fveq1 5422 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( f `  z )  =  ( ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z ) )
3837eleq1d 2322 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( ( f `
 z )  e.  z  <->  ( ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
3938imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) ) )
4039ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z ) ) )
4136, 40cla4ev 2826 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4222, 41syl 17 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4342exlimiv 2024 . . 3  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
4443alimi 1546 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  A. x E. f A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
45 dfac3 7681 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
4644, 45sylibr 205 1  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   E!wreu 2518   {crab 2519   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   (/)c0 3397   ~Pcpw 3566   U.cuni 3768    e. cmpt 4017   -->wf 4634   ` cfv 4638   iota_crio 6228  CHOICEwac 7675
This theorem is referenced by:  dfac2  7690  axac3OLD  8024  axac2  8026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-fv 4654  df-iota 6190  df-riota 6237  df-ac 7676
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