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Theorem dfac2a 7846
Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 8178) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See dfac2 7847 for the converse (which does use the Axiom of Regularity). (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac2a  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
Distinct variable group:    x, z, y, w, v

Proof of Theorem dfac2a
Dummy variables  f  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotauni 6398 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( iota_ w  e.  z E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  =  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
2 riotacl 6406 . . . . . . . . 9  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( iota_ w  e.  z E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  e.  z )
31, 2eqeltrrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  z )
4 elequ2 1715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
w  e.  u  <->  w  e.  z ) )
5 elequ1 1713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  v  <->  z  e.  v ) )
65anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
76rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( E. v  e.  y 
( u  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) )
84, 7anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) )  <->  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) ) )
98abbidv 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  { w  |  ( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }  =  { w  |  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) } )
10 df-rab 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  |  ( w  e.  u  /\  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }
11 df-rab 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  |  ( w  e.  z  /\  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) ) }
129, 10, 113eqtr4g 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
1312unieqd 3919 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  =  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
14 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  =  ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
15 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1615rabex 4246 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  z  |  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  _V
1716uniex 4598 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  _V
1813, 14, 17fvmpt 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  = 
U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) } )
1918eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  (
( ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z  <->  U. { w  e.  z  |  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  z ) )
203, 19syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y 
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
2120imim2d 48 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) ) )
2221ralimia 2692 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
23 ssrab2 3334 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  u
24 elssuni 3936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  x  ->  u  C_ 
U. x )
2523, 24syl5ss 3266 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  x  ->  { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. x )
26 uniss 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. x  ->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U.
U. x )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  x  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. U. x )
28 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
2928uniex 4598 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  e.  _V
3029uniex 4598 . . . . . . . . . 10  |-  U. U. x  e.  _V
3130elpw2 4256 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  ~P U.
U. x  <->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  (
u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  C_  U. U. x
)
3227, 31sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  x  ->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) }  e.  ~P U.
U. x )
3314, 32fmpti 5766 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) : x --> ~P U. U. x
3430pwex 4274 . . . . . . 7  |-  ~P U. U. x  e.  _V
35 fex2 5484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) : x --> ~P U. U. x  /\  x  e. 
_V  /\  ~P U. U. x  e.  _V )  ->  ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  e.  _V )
3633, 28, 34, 35mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  e. 
_V
37 fveq1 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( f `  z )  =  ( ( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z ) )
3837eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( ( f `
 z )  e.  z  <->  ( ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) )
3938imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( u  e.  x  |->  U. {
w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `  z )  e.  z ) ) )
4039ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( u  e.  x  |->  U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z ) ) )
4136, 40spcev 2951 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
( u  e.  x  |-> 
U. { w  e.  u  |  E. v  e.  y  ( u  e.  v  /\  w  e.  v ) } ) `
 z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4222, 41syl 15 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4342exlimiv 1634 . . 3  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
4443alimi 1559 . 2  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  ->  A. x E. f A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
45 dfac3 7838 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
4644, 45sylibr 203 1  |-  ( A. x E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )  -> CHOICE )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   E!wreu 2621   {crab 2623   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   U.cuni 3908    e. cmpt 4158   -->wf 5333   ` cfv 5337   iota_crio 6384  CHOICEwac 7832
This theorem is referenced by:  dfac2  7847  axac3OLD  8181  axac2  8183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345  df-riota 6391  df-ac 7833
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