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Theorem dfac4 7749
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac4  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
Distinct variable group:    x, f, z

Proof of Theorem dfac4
Dummy variables  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7748 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( y `  z ) )
32eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  y  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( y `  z )  e.  z ) )
43imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( f  =  y  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z ) ) )
54ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( f  =  y  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z ) ) )
65cbvexv 1943 . . . . 5  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z ) )
7 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
8 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )
97, 8fnmpti 5372 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  Fn  x
10 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
y `  w )  =  ( y `  z ) )
11 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `
 z )  e. 
_V
1210, 8, 11fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  x  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  =  ( y `
 z ) )
1312eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  (
( ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) ) `  z )  e.  z  <-> 
( y `  z
)  e.  z ) )
1413imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z )  <-> 
( z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) ) )
1514ralbiia 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) )
1615anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) )  <->  ( ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) ) )
179, 16mpbiran 884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z ) )
18 fvrn0 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `
 w )  e.  ( ran  y  u. 
{ (/) } )
1918rgenw 2610 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  x  ( y `  w )  e.  ( ran  y  u.  { (/)
} )
208fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  x  (
y `  w )  e.  ( ran  y  u. 
{ (/) } )  <->  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) ) : x --> ( ran  y  u.  { (/) } ) )
2119, 20mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) ) : x --> ( ran  y  u.  { (/) } )
22 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
23 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2423rnex 4942 . . . . . . . . . 10  |-  ran  y  e.  _V
25 p0ex 4197 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
2624, 25unex 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  y  u.  { (/) } )  e.  _V
27 fex2 5401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) : x --> ( ran  y  u. 
{ (/) } )  /\  x  e.  _V  /\  ( ran  y  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  e.  _V )
2821, 22, 26, 27mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) )  e.  _V
29 fneq1 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( f  Fn  x  <->  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  Fn  x ) )
30 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) ) `  z ) )
3130eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( ( f `  z )  e.  z  <-> 
( ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) ) `  z )  e.  z ) )
3231imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( w  e.  x  |->  ( y `
 w ) ) `
 z )  e.  z ) ) )
3332ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) ) )
3429, 33anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  -> 
( ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( (
w  e.  x  |->  ( y `  w ) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) ) ) )
3528, 34spcev 2875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  |->  ( y `  w
) )  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
( w  e.  x  |->  ( y `  w
) ) `  z
)  e.  z ) )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
3617, 35sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
y `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
3736exlimiv 1666 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( y `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
386, 37sylbi 187 . . . 4  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
39 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4039eximi 1563 . . . 4  |-  ( E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
4138, 40impbii 180 . . 3  |-  ( E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
4241albii 1553 . 2  |-  ( A. x E. f A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. x E. f
( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
431, 42bitri 240 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f ( f  Fn  x  /\  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  CHOICEwac 7742
This theorem is referenced by:  dfac5  7755  dfacacn  7767  ac5  8104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ac 7743
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