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Theorem dfac9 7778
Description: Equivalence of the axiom of choice with a statement related to ac9 8126; definition AC3 of [Schechter] p. 139. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac9  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Distinct variable group:    x, f

Proof of Theorem dfac9
Dummy variables  g 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7764 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
2 vex 2804 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
32rnex 4958 . . . . . 6  |-  ran  f  e.  _V
4 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
54exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( E. g A. t  e.  s  (
t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
63, 5spcv 2887 . . . . 5  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
7 df-nel 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  <->  -.  (/)  e.  ran  f )
87biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
98ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
10 fvelrn 5677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
1110adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  e.  ran  f )
12 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  ( ( f `  x )  e.  ran  f  <->  (/)  e.  ran  f ) )
1311, 12syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  f ) )
1413necon3bd 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  f  ->  ( f `  x
)  =/=  (/) ) )
159, 14mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  =/=  (/) )
1615adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  =/=  (/) )
17 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  Fun  f )
1817, 10sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
19 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  ->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
20 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
t  =/=  (/)  <->  ( f `  x )  =/=  (/) ) )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
g `  t )  =  ( g `  ( f `  x
) ) )
22 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  t  =  ( f `  x ) )
2321, 22eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( g `  t
)  e.  t  <->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2420, 23imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  ( (
f `  x )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) ) )
2524rspcva 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
( f `  x
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2618, 19, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  x )  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2716, 26mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( g `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2827ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) )
292dmex 4957 . . . . . . . . . 10  |-  dom  f  e.  _V
30 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  f  e.  _V  ->  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  ( f `  x
) ) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
3228, 31sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x ) )
33 ne0i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )
3432, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )
3534ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3635exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( E. g A. t  e. 
ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
376, 36syl5com 26 . . . 4  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3837alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
39 fnresi 5377 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  Fn  ( s  \  { (/)
} )
40 fnfun 5357 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  Fn  ( s  \  { (/) } )  ->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )
42 0ex 4166 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
4342snid 3680 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
44 elndif 3313 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  -.  (/) 
e.  ( s  \  { (/) } ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } )
46 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
47 difexg 4178 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  \  { (/) } )  e.  _V )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s 
\  { (/) } )  e.  _V
49 resiexg 5013 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  e.  _V )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  e. 
_V
51 funeq 5290 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( Fun  f 
<->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) ) )
52 rneq 4920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ran  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
53 rnresi 5044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
5452, 53syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
5554eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e.  ran  f 
<->  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
5655notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( -.  (/) 
e.  ran  f  <->  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
577, 56syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e/  ran  f 
<->  -.  (/)  e.  ( s 
\  { (/) } ) ) )
5851, 57anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  <->  ( Fun  (  _I  |`  ( s 
\  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) ) )
59 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  dom  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
60 dmresi 5021 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
6159, 60syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
62 ixpeq1 6843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  f  =  ( s 
\  { (/) } )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
64 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x ) )
65 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  -> 
( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x )  =  x )
6664, 65sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  /\  x  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  x )
6766ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  =  x )
68 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x )  =  x  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
7063, 69eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
7170neeq1d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/) ) )
7258, 71imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (
( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  -> 
X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) ) )
7350, 72spcv 2887 . . . . . 6  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) )
7441, 45, 73mp2ani 659 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) )
75 n0 3477 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  (
s  \  { (/) } ) x )
76 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
7776elixp 6839 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  <->  ( g  Fn  ( s  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x ) )
78 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) ) )
7978imbi1i 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
80 impexp 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( g `  x
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
8179, 80bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
8281ralbii2 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  s  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
83 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =/=  (/)  <->  t  =/=  (/) ) )
84 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
85 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  x  =  t )
8684, 85eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  t )  e.  t ) )
8783, 86imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
8887cbvralv 2777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  s  (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8982, 88bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9089biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9190adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  ( s 
\  { (/) } )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( g `
 x )  e.  x )  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9277, 91sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9392eximi 1566 . . . . . 6  |-  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9475, 93sylbi 187 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9574, 94syl 15 . . . 4  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9695alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9738, 96impbii 180 . 2  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
981, 97bitri 240 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093    _I cid 4320   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   X_cixp 6833  CHOICEwac 7758
This theorem is referenced by:  dfac14  17328  dfac21  27267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ixp 6834  df-ac 7759
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