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Theorem dfac9 7730
Description: Equivalence of the axiom of choice with a statement related to ac9 8078; definition AC3 of [Schechter] p. 139. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac9  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Distinct variable group:    x, f

Proof of Theorem dfac9
StepHypRef Expression
1 dfac3 7716 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
2 vex 2766 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
32rnex 4930 . . . . . 6  |-  ran  f  e.  _V
4 raleq 2711 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
54exbidv 2006 . . . . . 6  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( E. g A. t  e.  s  (
t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
63, 5cla4v 2849 . . . . 5  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
7 df-nel 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  <->  -.  (/)  e.  ran  f )
87biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
98ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
10 fvelrn 5595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
1110adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  e.  ran  f )
12 eleq1 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  ( ( f `  x )  e.  ran  f  <->  (/)  e.  ran  f ) )
1311, 12syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  f ) )
1413necon3bd 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  f  ->  ( f `  x
)  =/=  (/) ) )
159, 14mpd 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  =/=  (/) )
1615adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  =/=  (/) )
17 simpll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  Fun  f )
1817, 10sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
19 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  ->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
20 neeq1 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
t  =/=  (/)  <->  ( f `  x )  =/=  (/) ) )
21 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
g `  t )  =  ( g `  ( f `  x
) ) )
22 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  t  =  ( f `  x ) )
2321, 22eleq12d 2326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( g `  t
)  e.  t  <->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2420, 23imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  ( (
f `  x )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) ) )
2524rcla4va 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
( f `  x
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2618, 19, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  x )  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2716, 26mpd 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( g `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2827ralrimiva 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) )
292dmex 4929 . . . . . . . . . 10  |-  dom  f  e.  _V
30 mptelixpg 6821 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  f  e.  _V  ->  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  ( f `  x
) ) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
3129, 30ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
3228, 31sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x ) )
33 ne0i 3436 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )
3432, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )
3534ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3635exlimdv 1933 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( E. g A. t  e. 
ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
376, 36syl5com 28 . . . 4  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3837alrimiv 2013 . . 3  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
39 fnresi 5299 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  Fn  ( s  \  { (/)
} )
40 fnfun 5279 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  Fn  ( s  \  { (/) } )  ->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
4139, 40ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Fun  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )
42 0ex 4124 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
4342snid 3641 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
44 elndif 3275 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  -.  (/) 
e.  ( s  \  { (/) } ) )
4543, 44ax-mp 10 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } )
46 vex 2766 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
47 difexg 4136 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  \  { (/) } )  e.  _V )
4846, 47ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( s 
\  { (/) } )  e.  _V
49 resiexg 4985 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  e.  _V )
5048, 49ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  e. 
_V
51 funeq 5213 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( Fun  f 
<->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) ) )
52 rneq 4892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ran  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
53 rnresi 5016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
5452, 53syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
5554eleq2d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e.  ran  f 
<->  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
5655notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( -.  (/) 
e.  ran  f  <->  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
577, 56syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e/  ran  f 
<->  -.  (/)  e.  ( s 
\  { (/) } ) ) )
5851, 57anbi12d 694 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  <->  ( Fun  (  _I  |`  ( s 
\  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) ) )
59 dmeq 4867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  dom  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
60 dmresi 4993 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
6159, 60syl6eq 2306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
62 ixpeq1 6795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  f  =  ( s 
\  { (/) } )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
64 fveq1 5457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x ) )
65 fvresi 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  -> 
( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x )  =  x )
6664, 65sylan9eq 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  /\  x  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  x )
6766ralrimiva 2601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  =  x )
68 ixpeq2 6798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x )  =  x  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
7063, 69eqtrd 2290 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
7170neeq1d 2434 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/) ) )
7258, 71imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (
( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  -> 
X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) ) )
7350, 72cla4v 2849 . . . . . 6  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) )
7441, 45, 73mp2ani 662 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) )
75 n0 3439 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  (
s  \  { (/) } ) x )
76 vex 2766 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
7776elixp 6791 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  <->  ( g  Fn  ( s  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x ) )
78 eldifsn 3723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) ) )
7978imbi1i 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
80 impexp 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( g `  x
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
8179, 80bitri 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
8281ralbii2 2546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  s  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
83 neeq1 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =/=  (/)  <->  t  =/=  (/) ) )
84 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
85 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  x  =  t )
8684, 85eleq12d 2326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  t )  e.  t ) )
8783, 86imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
8887cbvralv 2739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  s  (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8982, 88bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9089biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9190adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  ( s 
\  { (/) } )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( g `
 x )  e.  x )  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9277, 91sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9392eximi 1574 . . . . . 6  |-  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9475, 93sylbi 189 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9574, 94syl 17 . . . 4  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9695alrimiv 2013 . . 3  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9738, 96impbii 182 . 2  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
981, 97bitri 242 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421    e/ wnel 2422   A.wral 2518   _Vcvv 2763    \ cdif 3124   (/)c0 3430   {csn 3614    e. cmpt 4051    _I cid 4276   dom cdm 4661   ran crn 4662    |` cres 4663   Fun wfun 4667    Fn wfn 4668   ` cfv 4673   X_cixp 6785  CHOICEwac 7710
This theorem is referenced by:  dfac14  17274  dfac21  26531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ixp 6786  df-ac 7711
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