Theorem dfdmf 3303

Description: Definition of domain, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypotheses

Ref	Expression
dfdmf.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
dfdmf.2	|- (z e. A -> A.y z e. A)

Assertion

Ref	Expression
dfdmf	|- dom A = {x | E.y<.x, y>. e. A}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,A

Proof of Theorem dfdmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm3 3299	. 2 |- dom A = {w | E.v<.w, v>. e. A}
2		ax-17 970	. . . . 5 |- (z e. <.w, v>. -> A.y z e. <.w, v>.)
3		dfdmf.2	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
4	2, 3	hbel 1565	. . . 4 |- (<.w, v>. e. A -> A.y<.w, v>. e. A)
5		ax-17 970	. . . 4 |- (<.w, y>. e. A -> A.v<.w, y>. e. A)
6		opeq2 2486	. . . . 5 |- (v = y -> <.w, v>. = <.w, y>.)
7	6	eleq1d 1539	. . . 4 |- (v = y -> (<.w, v>. e. A <-> <.w, y>. e. A))
8	4, 5, 7	cbvex 1165	. . 3 |- (E.v<.w, v>. e. A <-> E.y<.w, y>. e. A)
9	8	abbii 1574	. 2 |- {w | E.v<.w, v>. e. A} = {w | E.y<.w, y>. e. A}
10		ax-17 970	. . . . 5 |- (z e. <.w, y>. -> A.x z e. <.w, y>.)
11		dfdmf.1	. . . . 5 |- (z e. A -> A.x z e. A)
12	10, 11	hbel 1565	. . . 4 |- (<.w, y>. e. A -> A.x<.w, y>. e. A)
13	12	hbex 1005	. . 3 |- (E.y<.w, y>. e. A -> A.xE.y<.w, y>. e. A)
14		ax-17 970	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. A -> A.wE.y<.x, y>. e. A)
15		opeq1 2485	. . . . 5 |- (w = x -> <.w, y>. = <.x, y>.)
16	15	eleq1d 1539	. . . 4 |- (w = x -> (<.w, y>. e. A <-> <.x, y>. e. A))
17	16	exbidv 1279	. . 3 |- (w = x -> (E.y<.w, y>. e. A <-> E.y<.x, y>. e. A))
18	13, 14, 17	cbvab 1906	. 2 |- {w | E.y<.w, y>. e. A} = {x | E.y<.x, y>. e. A}
19	1, 9, 18	3eqtr 1498	1 |- dom A = {x | E.y<.x, y>. e. A}

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1463  <.cop 2409  dom cdm 3167

This theorem is referenced by:  dmopab 3317

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1810  df-un 2048  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-br 2617  df-dm 3185

Copyright terms: Public domain