Theorem dff3 3803

Description: Alternate definition of a mapping.

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dff3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff2 3802	. 2 |- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y xFy))
2		ssel 2053	. . . . . . . . 9 |- (F (_ (A X. B) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. (A X. B)))
3		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
4	3	opelxp 3204	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
5	4	pm3.27bi 326	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> y e. B)
6	2, 5	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (F (_ (A X. B) -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
7		df-br 2610	. . . . . . . 8 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
8	6, 7	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (F (_ (A X. B) -> (xFy -> y e. B))
9	8	pm4.71rd 637	. . . . . 6 |- (F (_ (A X. B) -> (xFy <-> (y e. B /\ xFy)))
10	9	eubidv 1379	. . . . 5 |- (F (_ (A X. B) -> (E!y xFy <-> E!y(y e. B /\ xFy)))
11		df-reu 1643	. . . . 5 |- (E!y e. B xFy <-> E!y(y e. B /\ xFy))
12	10, 11	syl6bbr 536	. . . 4 |- (F (_ (A X. B) -> (E!y xFy <-> E!y e. B xFy))
13	12	ralbidv 1655	. . 3 |- (F (_ (A X. B) -> (A.x e. A E!y xFy <-> A.x e. A E!y e. B xFy))
14	13	pm5.32i 643	. 2 |- ((F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y xFy) <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))
15	1, 14	bitr 173	1 |- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  E!weu 1373  A.wral 1637  E!wreu 1639   (_ wss 2037  <.cop 2401   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  -->wf 3168

This theorem is referenced by:  exfo 3807

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain