MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin1-5 Structured version   Unicode version

Theorem dffin1-5 8268
Description: Compact quantifier-free version of the standard definition df-fin 7113. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin1-5  |-  Fin  =  (  ~~  " om )

Proof of Theorem dffin1-5
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7155 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  <->  y  ~~  x )
21rexbii 2730 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  x  ~~  y  <->  E. y  e.  om  y  ~~  x )
32abbii 2548 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }  =  { x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
4 df-fin 7113 . 2  |-  Fin  =  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }
5 dfima2 5205 . 2  |-  (  ~~  " om )  =  {
x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
63, 4, 53eqtr4i 2466 1  |-  Fin  =  (  ~~  " om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652   {cab 2422   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   omcom 4845   "cima 4881    ~~ cen 7106   Fincfn 7109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator