MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin1-5 Unicode version

Theorem dffin1-5 8224
Description: Compact quantifier-free version of the standard definition df-fin 7072. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin1-5  |-  Fin  =  (  ~~  " om )

Proof of Theorem dffin1-5
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7114 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  <->  y  ~~  x )
21rexbii 2691 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  x  ~~  y  <->  E. y  e.  om  y  ~~  x )
32abbii 2516 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }  =  { x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
4 df-fin 7072 . 2  |-  Fin  =  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }
5 dfima2 5164 . 2  |-  (  ~~  " om )  =  {
x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
63, 4, 53eqtr4i 2434 1  |-  Fin  =  (  ~~  " om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649   {cab 2390   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   omcom 4804   "cima 4840    ~~ cen 7065   Fincfn 7068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072
  Copyright terms: Public domain W3C validator