Theorem dffo5 3816

Description: Alternate definition of an onto mapping.

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 3815	. 2 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy))
2		rexex 1691	. . . . 5 |- (E.x e. A xFy -> E.x xFy)
3	2	r19.20si 1704	. . . 4 |- (A.y e. B E.x e. A xFy -> A.y e. B E.x xFy)
4	3	anim2i 335	. . 3 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy) -> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))
5		ffn 3623	. . . . . . . . 9 |- (F:A-->B -> F Fn A)
6		fnbr 3586	. . . . . . . . . 10 |- ((F Fn A /\ xFy) -> x e. A)
7	6	ex 373	. . . . . . . . 9 |- (F Fn A -> (xFy -> x e. A))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . . 8 |- (F:A-->B -> (xFy -> x e. A))
9	8	ancrd 299	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> (xFy -> (x e. A /\ xFy)))
10	9	19.22dv 1289	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (E.x xFy -> E.x(x e. A /\ xFy)))
11		df-rex 1648	. . . . . 6 |- (E.x e. A xFy <-> E.x(x e. A /\ xFy))
12	10, 11	syl6ibr 213	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (E.x xFy -> E.x e. A xFy))
13	12	r19.20sdv 1708	. . . 4 |- (F:A-->B -> (A.y e. B E.x xFy -> A.y e. B E.x e. A xFy))
14	13	imdistani 443	. . 3 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy) -> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy))
15	4, 14	impbi 157	. 2 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy) <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))
16	1, 15	bitr 173	1 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957  E.wex 979  A.wral 1643  E.wrex 1644   class class class wbr 2615   Fn wfn 3173  -->wf 3174  -onto->wfo 3176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fo 3192  df-fv 3194

Copyright terms: Public domain