Theorem dffun8 3537

Description: Alternate definition of a function.

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 3535	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
2		visset 1810	. . . . . . 7 |- x e. V
3		visset 1810	. . . . . . 7 |- y e. V
4	2, 3	brelrn 3340	. . . . . 6 |- (xAy -> y e. ran A)
5	4	pm4.71ri 637	. . . . 5 |- (xAy <-> (y e. ran A /\ xAy))
6	5	mobii 1404	. . . 4 |- (E*y xAy <-> E*y(y e. ran A /\ xAy))
7	6	ralbii 1665	. . 3 |- (A.x e. dom AE*y xAy <-> A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy))
8	7	anbi2i 480	. 2 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy) <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957  E*wmo 1380  A.wral 1643   class class class wbr 2615  dom cdm 3166  ran crn 3167  Rel wrel 3171  Fun wfun 3172

This theorem is referenced by:  brdom4 4786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-fun 3188

Copyright terms: Public domain