MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun8 Unicode version

Theorem dffun8 5185
Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 5184. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffun8  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dffun8
StepHypRef Expression
1 dffun7 5184 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E* y  x A y ) )
2 df-mo 2122 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <-> 
( E. y  x A y  ->  E! y  x A y ) )
3 vex 2743 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43eldm 4829 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y  x A y )
5 pm5.5 328 . . . . . 6  |-  ( E. y  x A y  ->  ( ( E. y  x A y  ->  E! y  x A y )  <->  E! y  x A y ) )
64, 5sylbi 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  A  -> 
( ( E. y  x A y  ->  E! y  x A y )  <-> 
E! y  x A y ) )
72, 6syl5bb 250 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  -> 
( E* y  x A y  <->  E! y  x A y ) )
87ralbiia 2546 . . 3  |-  ( A. x  e.  dom  A E* y  x A y  <->  A. x  e.  dom  A E! y  x A y )
98anbi2i 678 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E* y  x A y )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A
y ) )
101, 9bitri 242 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x  e.  dom  A E! y  x A y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621   E!weu 2117   E*wmo 2118   A.wral 2516   class class class wbr 3963   dom cdm 4626   Rel wrel 4631   Fun wfun 4632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-fun 4648
  Copyright terms: Public domain W3C validator