MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfif5 Structured version   Unicode version

Theorem dfif5 3779
Description: Alternate definition of the conditional operator df-if 3768. Note that  ph is independent of  x i.e. a constant true or false (see also abvor0 3633). (Contributed by Gérard Lang, 18-Aug-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfif3.1  |-  C  =  { x  |  ph }
Assertion
Ref Expression
dfif5  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem dfif5
StepHypRef Expression
1 inindi 3546 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) ) )
2 dfif3.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  ph }
32dfif4 3778 . 2  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
4 undir 3578 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
5 unidm 3479 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  A )  =  A
65uneq1i 3486 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
7 unass 3493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
8 undi 3576 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
96, 7, 83eqtr3ri 2472 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
10 undi 3576 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( A  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )
11 undifabs 3733 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( A  \  B ) )  =  A
1211ineq1i 3527 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )  =  ( A  i^i  ( A  u.  C )
)
13 inabs 3560 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( A  u.  C ) )  =  A
1410, 12, 133eqtri 2467 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  A
15 undif2 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1615ineq1i 3527 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
17 undi 3576 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )
1816, 17, 83eqtr4i 2473 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
1914, 18uneq12i 3488 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C ) )  u.  ( A  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
209, 19eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
21 unundi 3497 . . . . 5  |-  ( A  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
2220, 21eqtr4i 2466 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
23 unass 3493 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )
24 undi 3576 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )  =  ( ( B  u.  A
)  i^i  ( B  u.  C ) )
25 uncom 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )
26 undif2 3732 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  ( B  u.  A
)
2726ineq1i 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( B  u.  A )  i^i  ( B  u.  C )
)
2824, 25, 273eqtr4i 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
29 undi 3576 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
3028, 29eqtr4i 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)
31 undi 3576 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( B  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
32 undifabs 3733 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( B  \  A ) )  =  B
3332ineq1i 3527 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
34 inabs 3560 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  B
3531, 33, 343eqtrri 2468 . . . . . . 7  |-  B  =  ( B  u.  (
( B  \  A
)  i^i  ( _V  \  C ) ) )
3630, 35uneq12i 3488 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
37 unidm 3479 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  B )  =  B
3837uneq2i 3487 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
3923, 36, 383eqtr3ri 2472 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
40 uncom 3480 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
4140ineq2i 3528 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
42 undir 3578 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
4341, 42eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
44 unundi 3497 . . . . 5  |-  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
4539, 43, 443eqtr4i 2473 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( B  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
4622, 45ineq12i 3529 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C )
) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
474, 46eqtr4i 2466 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
481, 3, 473eqtr4i 2473 1  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1654   {cab 2429   _Vcvv 2965    \ cdif 3306    u. cun 3307    i^i cin 3308   ifcif 3767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rab 2721  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768
  Copyright terms: Public domain W3C validator